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1、最佳平方逼近多项式本节内容1.内积空间2.两类特殊的函数族3.函数的最佳平方逼近4.举例5.MATLAB程序实现§5.2最佳平方逼近多项式1.内积空间权函数：考虑到在区间[a,b]上各点的函数值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区间[a,b]上的非负函数满足条件：1）存在；2）对非负的连续函数，若则在[a,b]上，，即不恒为0。就称为[a,b]上的权函数。它的物理意义可以解释为密度函数。1.内积空间内积：设是[a,b]上的权函数，则称积分为函数与在[a,b]上的内积,有下列性质：1）2）为常数;3）4）当
2、且仅当时，1.内积空间内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积空间。如在连续函数空间上定义了内积就形成了一个内积空间。向量的模：在n维欧氏空间中，内积就是两向量的数量积，即向量的模（范数)的定义为：1.内积空间欧式范数：若,则量称为的欧式范数。对任何,有以下结论：（1），又称柯西-施瓦茨不等式；（2），又称三角不等式；（3），又称平行四边形定律。2.两类特殊的函数族正交：若为[a,b]上的权函数且满足则称与在[a,b]上带权正交。正交函数族：若函数族满足关系则称是[a,b]上带权的正交函数族；若，则称为标准
3、正交函数族。2.两类特殊的函数族可以证明，三角函数族满足上述条件，是在上的正交函数族。线性无关：若函数在区间[a,b]上连续，如果当且仅当时成立，则称在[a,b]上是线性无关的。2.两类特殊的函数族线性无关函数族：若函数族中的任何有限个线性无关，则称为线性无关函数族。充要条件：在[a,b]上线性无关的充要条件是它的Gramer行列式，其中3.函数的最佳平方逼近最佳平方逼近函数：对于及中的一个子集若存在使下式成立:则称是在子集中的最佳平方逼近函数，其中是一组线性无关函数族，函数3.函数的最佳平方逼近对函数s*
4、(x)的求解：等价于求以下多元函数的最小值。令则引入内积定义，可得即3.函数的最佳平方逼近上式是关于的线性方程组，称为法方程。用矩阵形式可表示为简记为。其中3.函数的最佳平方逼近由于线性无关，故其系数矩阵H的行列式非奇异，即，该法方程有唯一解为则最佳平方逼近函数为令，则平方误差3.函数的最佳平方逼近特别地，取，，求其最佳平方逼近多项式。此时，3.函数的最佳平方逼近又称为希尔伯特矩阵。则方程的唯一解即为所求多项式s*(x)的系数。4.举例1.求在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。解：取由得则由4.举例
5、得解得：故所求一次最佳平方逼近多项式为：所求最佳一次逼近多项式为：4.举例4.举例Matlab求定积分（int函数）d0=(2*2^(1/2))/5-(6*ellipticF(asin(1/(3/2+(3^(1/2)*i)/2)^(1/2)),-(3/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))*(-1/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2))/5+(6*(3/2+(3^(1/2)*i)/2)*(2/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((-
6、1/2+(3^(1/2)*i)/2)/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((1/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*ellipticF(asin((2/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)),-(3/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))*(-1/(2*(-1/2+(3^(1/2)*i)/2)*(1/2+(3^(1/2)*i)/2)))^(1/2))/54.举例4.举例4.举例二次
7、4.举例三次4.举例四次4.举例4.举例4.举例4.举例5.MATLAB编程实现functionA=ZJPFBJ(f,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(f);f=f/varfori=1:n+1C(1,i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;f=f*var;d(i,1)=int(sym(f),var,a,b);endfori=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+i);f2=power(a,n+i);C(i,n+1
8、)=(f1-f2)/(n+i);endA=Cd;A=real(double(A));end5.MATLAB编程实现程序结果输出计算结果输出5.MATLAB编程实现程序结果输出计算结果输出程序正确简化计算谢谢敬请老师、同学们批评指正
