最佳平方逼近多项式收敛性

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1、最佳平方逼近多项式的收敛性实验报告数值实验7.2最佳平方逼近多项式的收敛性学号：P200909071姓名：孙闯一、实验目的若已知给定区间[a,b]上的连续函数f(x),寻找一个简单、易于计算的函数P(x)来代替f(x)使用，即用P(x)去近似f(x)，这就是函数逼近要研究的问题。而逼近的方法有很多，本实验中主要讨论最佳平方逼近。二、实验题用matlab求解f(x)=

2、x

3、在区间[-1,1]上关于Legendre多项式和Chebychev多项式的展开式。分别取展开式的4次、8次…截断多项式，画出f(x)及各次截断多项式的图像，观察收敛性。三、实验结果Ⅰ、①f(x)=

4、x

5、在区间[-1,1]

6、上关于Legendre多项式的4次截断多项式f(x)=5/128+105/64*x^2-105/128*x^4收敛性：收敛。拟合图像如图1。-6-最佳平方逼近多项式的收敛性图1Legendre正交多项式四次截断多项式拟合②f(x)=

7、x

8、在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的8次截断多项式f(x)=2205/32768+24255/8192*x^2-105105/16384*x^4+63063/8192*x^6-109395/32768*x^8收敛性：收敛。拟合图像如图2。图2Legendre正交多项式八次截断多项式拟合③f(x)=

9、x

10、在区间[-1,1]上关于Legendre

11、多项式的16次截断多项式f(x)=78217425/2147483648+1486131075/268435456*x^2-24273474225/536870912*x^4+66994788861/268435456*x^6-854525368125/1073741824*x^8+398778505125/268435456*x^10-860175122625/536870912*x^12+247945660875/268435456*x^14-472749726735/2147483648*x^16收敛性：收敛。拟合图像如图3。-6-最佳平方逼近多项式的收敛性图3Legendre正交

12、多项式十六次截断多项式拟合Ⅱ、①f(x)=

13、x

14、在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的4次截断多项式。f(x)=5734161139222659/45035996273704960+17202483417667977/11258999068426240*x^2-1911387046407553/2814749767106560*x^4收敛性：收敛。拟合图像如图4。图4Chebyshev四次截断多项式拟合-6-最佳平方逼近多项式的收敛性②f(x)=

15、x

16、在区间[-1,1]上关于Chebyshev多项式的8次截断多项式。f(x)=1911387046407553/27021597

17、764222976+9556935232037765/3377699720527872*x^2-9556935232037765/1688849860263936*x^4+13379709324852871/2111062325329920*x^6-1911387046407553/738871813865472*x^8收敛性：收敛。拟合图像如图5。图5Chebyshev八次截断多项式拟合③f(x)=

18、x

19、在区间[-1,1]上关于Chebyshev多项式的16次截断多项式。f(x)=5734161139222659/153122387330596864+51607450253003931

20、/9570149208162304*x^2-200695639872793065/4785074604081152*x^4+1324591223160434229/5981343255101440*x^6-2838409763915216205/4186940278571008*x^8+273328347636280079/224300372066304*x^10-47437151242660179/37383395344384*x^12+6616339776026145/9345848836096*x^14-1911387046407553/11682311045120*x^16收敛性

21、：收敛。拟合图像如图6。-6-最佳平方逼近多项式的收敛性图6Chebyshev十六次截断多项式拟合四、实验分析1、由实验可知，用Legendre正交多项式在区间[-1，1]上逼近函数f(x)=

22、x

23、，不管是4次、8次或者是16次的截断多项式，其结果都是收敛的。当节点取的越多，则函数的逼近效果则越好。2、同样由实验可知，用Chebyshev正交多项式在区间[-1.，1]上逼近函数f(x)=

24、x

25、，不管是4次、8次或者是16次的截断多项