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《实验三最佳平方逼近多项式的收敛性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、实验三最佳平方逼近多项式的收敛性一、实验目的若已知给定区间[a,b]上的连续函数fx,寻找一个简单、易于计算的函数P(x)来代替fx使用，即用P(x)去近似fx，这就是函数逼近所要研究的问题。而逼近的方法很多，收敛速度也各有差异，本实验主要讨论最佳平方逼近，分别对Legendre以及Chebychev方法讨论其n次截断多项式的问题，观察其收敛性，学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB实验及精度比较。二、实验原理由教材定义有：对于给定的函数，如果存在使得则称S*(x)是f(x)在集合中的最佳平方逼近函数。显然
2、，求最佳平方逼近函数的问题可归结为求它的系数，使多元函数取得极小值，也即点()是I(a0,…，an)的极点。由于I(a0,a1,…，an)是关于a0,a1,…，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，(k=0,1,2,…,n)即得方程组如采用函数内积记号那么，方程组可以简写为………….（1）这是一个包含n+1个未知元a0,a1,…,an的n+1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为………（2）此方程组叫做求aj(j=0,1,2,…,n)的法方程组。显然，其系数行列式就是克莱姆行列式Gn=Gn(j0,j1,…,
3、jn)。由于j0,j1,…,jn线性无关，故Gn¹0，于是上述方程组存在唯一解。从而肯定了函数f(x)在中如果存在最佳平方逼近函数，则必是……………………………..........（3）一、实验内容考虑f(x)=
4、x
5、在区间[-1,1]上关于Legendre多项式和Chebychev多项式的展开式。分别取展开式的4次、8次……阶段多项式，画出f(x)及各次截断多项式的图像，观察收敛性。二、实验步骤1.最佳平方逼近算法1)输入被逼近函数f(x)和对应的逼近区间[a,b]并选择逼近函数系{∮（x）}和权函数；2)解
6、方程组（1）或（2），其中方程组的系数矩阵和右端的项由式（3）得到；3)由式（3）得到函数的最佳平方逼近。2.MATLAB实现编写三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数，作出n取不同值时的逼近函数曲线，与原函数图像进行比较，观察其收敛性。三、实验数据分析5．1Legendre多项式逼近a)fx=
7、x
8、在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的四次截断多项式为fx=15/128+105/64*x^2-105/128*x^4逼近图像如下图5-1所示，由图可知，此Legendre多项式逼近是收敛的。图5-1
9、a)fx=
10、x
11、在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的八次截断多项式为fx=2205/32768+24255/8192*x^2-105105/16384*x^4+63063/8192*x^6-109395/32768*x^8逼近图像如下图5-2所示，由图可知，此Legendre多项式逼近是收敛的。图5-2a)fx=
12、x
13、在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的十六次截断多项式为fx=78217425/2147483648+1486131075/268435456*x^2-24273474225
14、/536870912*x^4+66994788861/268435456*x^6-854525368125/1073741824*x^8+398778505125/268435456*x^10-860175122625/536870912*x^12+247945660875/268435456*x^14-472749726735/2147483648*x^16逼近图像如下图5-3所示，由图可知，此Legendre多项式逼近是收敛的。图5-35．2Chebychev多项式逼近a)fx=
15、x
16、在区间[-1,1]上关
17、于Chebychev多项式的四次截断多项式为fx=5734161139222659/45035996273704960+17202483417667977/11258999068426240*x^2-1911387046407553/2814749767106560*x^4逼近图像如下图5-4所示，由图可知，此Chebychev多项式逼近是收敛的。图5-4a)f(x)=
18、x
19、在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的八次截断多项式为f(x)=1911387046407553/27021597764222
20、976+9556935232037765/3377699720527872*x^2-9556935232037765/1688849860263936*x^4+13379709324852871/2111062325329920*x^6-1911387046407553/738871813865472*x^8逼近图像如下图5-5所示，由图可知，此Chebychev多项式逼近是收敛的。图
