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1、第六章函数逼近（最佳平方逼近）6-1阜师院数科院第六章函数逼近第六章目录§1最小二乘法原理和多项式拟合§2一般最小二乘拟合2.1线性最小二乘法的一般形式2.2非线性最小二乘拟合§3正交多项式曲线拟合3.1离散正交多项式3.2用离散正交多项式作曲线拟合§4函数的最佳平方逼近§5最佳一致逼近2阜师院数科院第六章函数逼近§4函数的最佳平方逼近前面对离散数据，我们利用最 小二乘法求拟合函数（多项式）， 本节对一些连续函数，当其表达式 较复杂不易于计算和研究时，我们 利用最小二乘法，求这些连续函数 的近似函数（较简单的函数），称 为函数f(x)在[a,b]上的最佳平方逼 函数(x)。3
2、阜师院数科院第六章函数逼近4.1基本方法设f(x)在[a,b]上连续，i(x)(i=0,1,2,…,m)在[a,b]上线性无关，H=Span{0,1,…,m}为k(x)的集合，求(x)使：定义6.2连续情况下的内积定义为：((x)为权函数）4阜师院数科院第六章函数逼近基本方法（续）要求出满足（6-10）的(x)，与离散情况完全类似，即要求k(x)满足正规方程组（6-5），当k(x)线性无关可求出唯一解是H中关于权函数(x)的唯一的最佳平方逼近多项式。若k(x)=xk(k=0,1,2,…,m)，此时H为k(x)所有线性组合生成的多项式集合，则(x)称
3、为关于(x)的m次最佳平方逼近多项式或最小二乘逼近多项式。关于权函数(x)一般应给定，若没有特别标明则(x)1。5阜师院数科院第六章函数逼近最佳平方逼近多项式举例例7求f(x)=cosx在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式问题：如何求二 次、三次最佳平 方逼近多项式， 可：（1）如上，H={1,x,x2}即取2(x)=x2（2）或如后面例，按三项推式构造正交多项式6阜师院数科院第六章函数逼近4.2利用正交多项式求最佳平方逼近多项式从上节知道利用正交函数系可以简化最小二乘法的求解，并提高解的精度，而正交多项式系，由于其计算简便，是函数逼近的重要工具，后面一致逼近，积
4、分也要用到正交多项式。定义6.3如果函数系{0(x),1(x),…,m(x),…}满足:则称此函数为区间[a,b]上关于权函数(x)的正 交函数系。特别地，若Ak=1(k=0,1,2,…)，则称其为 标准正交函数系，当k(x)为多项式时，称为正交多 项式。7阜师院数科院第六章函数逼近正交多项式举例8阜师院数科院第六章函数逼近正交函数系性质正交函数系具有以下性质：定理6.3定理6.4设k(x)(k=0,1,2,…)是最高次项系数不为零的k次多项式，则{k(x)}是[a,b]上关于权函数(x)的正交多项式系的充要条件是对任意至多k－1次的多项式Qk－1(x)，均有：
5、区间[a,b]上关于权函数(x)的正交函数系0,1,…,n是线性无关的。9阜师院数科院第六章函数逼近定理6.4的证明10阜师院数科院第六章函数逼近定理6.5证明类似于定理6.2，略。构造正交多项式的一般方法由以下定理给出：定理6.511阜师院数科院第六章函数逼近几种常用的正交多项式下面介绍几种常用的正交多项式:（一）勒让德（Legendre）多项式Legendre多项式的一般表示式为:具体表达式为:12阜师院数科院第六章函数逼近Legendre多项式性质（1）{Pk(x)}是区间[－1,1]上关于权函数(x)1的正交函数系，且13阜师院数科院第六章函数逼近Legen
6、dre多项式性质（续1）通过变量变换由Legendre多项式可以得到在任意区间[a,b]上关于权函数(x)1的正交多项式系。14阜师院数科院第六章函数逼近Legendre多项式性质（续2）（2）Legendre多项式满足递推公式:例如：15阜师院数科院第六章函数逼近（二）第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式第一类Chebyshev多项式的一般表示式为：令x=cos，当x在[－1,1]上变化时，对应的在[0,]上变化，（6-12）可改写成：具体表达式为：由上式容易看出，Tn(x)是首项系数为2n-1的n次多项式。16阜师院数科院第六章函数逼近第一类Chebyshe
7、v多项式性质第一类Chebyshev多项式有以下性质：17阜师院数科院第六章函数逼近第一类Chebyshev多项式性质（续）性质（3），（4）由余弦函数性质即得。18阜师院数科院第六章函数逼近（三）拉盖尔（Laguerre）多项式Laguerre多项式定义为：其具体表达式为：19阜师院数科院第六章函数逼近Laguerre多项式性质Laguerre多项式有以下性质：（1）{Ln(x)}是区间[0,+)上关于权函数(x)=e－x的正交多项式系，且：（2）Laguerre多项式满足递推公式：由
