工程数学(近世代数)

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1、近世代数高等工程数学2代数结构部分第4章知识准备第5章群第6章环和域3第4章知识准备二元运算定义及其实例运算的表示二元运算的性质交换律、结合律、消去律分配律二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元4二元运算的定义及其实例定义设S为集合,映射f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算.也称S对f封闭.例1(1)N上的加法、乘法.(2)Z上：加法、减法、乘法.(3)非零实数集R*上的二元运算:乘法、除法.(4)设S={a1,a2,…,an},ai∘aj=ai，∘为S上二元运算.5二元运算的实例（续）(5)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2

2、)实矩阵的集合，即矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(6)幂集P(S)上的二元运算：∪,∩,－,.(7)SS为S上的所有函数的集合：合成运算∘.6二元运算的表示算符：∘,∗,·,,等符号表示二元运算对二元运算∘，如果x与y运算得到z，记做x∘y=z；表示二元或一元运算的方法：公式、运算表7公式表示例2设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：x,y∈R,x∗y=x.那么3∗4=30.5∗(-3)=0.5运算表（表示有穷集上的二元运算）二元运算的表示（续）8运算表的形式∘a1a2…ana1a2...ana1∘a1a1

3、∘a2…a1∘ana2∘a1a2∘a2…a2∘an.........an∘a1an∘a2…an∘an9运算表的实例（续）例3Z5={0,1,2,3,4},模5加法的运算表0123401234012341234023401340124012310二元运算的性质定义设∘为S上的二元运算,(1)如果对于任意的x,yS有x∘y=y∘x,则称运算在S上满足交换律.(2)如果对于任意的x,y,z∈S有(x∘y)∘z=x∘(y∘z),则称运算在S上满足结合律.(3)如果对于任意的x,y,zS，若x∘y=x∘z，则y=z若y∘x=z∘x,则y=z那么

4、称∘运算满足消去律.11消去律实例:Z,Q,R关于普通加法和乘法满足消去律.Mn(R)关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵乘法不满足消去律.Zn关于模n加法满足消去律，当n为素数时关于模n乘法满足消去律.当n为合数时关于模n乘法不满足消去律.12二元运算的性质（续）定义设∘和∗为S上两个不同的二元运算,如果x,y,z∈S有(x∗y)∘z=(x∘z)∗(y∘z)z∘(x∗y)=(z∘x)∗(z∘y)则称∘运算对∗运算满足分配律.13实例分析集合运算分配律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分

5、配+对不分配Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；14二元运算的特异元素单位元定义设∘为S上的二元运算,如果存在eS，使得对任意x∈S都有e∘x=x∘e=x，则称e是S中关于∘运算的单位元.单位元也叫做幺元.定理若S中关于运算存在单位元，则单位元是唯一的.15二元运算的特异元素（续）零元设∘为S上的二元运算,如果存在θ∈S，使得对任意x∈S都有θ∘x=x∘θ=θ)，则称θ是S中关于∘运算的零元.定理若S中关于运算存在零元，则零元是唯一的.16二元运算的特异元素（续）可逆元素及其逆元令e为S中关于运算∘的

6、单位元.对于x∈S，如果存在y∈S使得y∘x=x∘y=e，则称y是x的逆元.如果x的逆元存在，则唯一，记为x-1,称x是可逆的.17实例分析集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法+0无X的逆元x普通乘法10X的逆元x1(x-1属于给定集合)Mn(R)矩阵加法+n阶全0矩阵无X逆元X矩阵乘法n阶单位矩阵n阶全0矩阵X的逆元X1（X是可逆矩阵）P(B)并B的逆元为交BB的逆元为B对称差无X的逆元为X18例题分析解(1)∘运算可交换，可结合.任取x,yQ,x∘y=x+y+2xy=y+x+2yx=y∘x,任取x,y,z

7、Q,(x∘y)∘z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx∘(y∘z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例4设∘运算为Q上的二元运算，x,yQ,x∘y=x+y+2xy,(1)∘运算是否满足交换和结合律?说明理由.(2)求∘运算的单位元、零元和所有可逆元.19给定x，设x的逆元为y,则有x∘y=0成立，即x+y+2xy=0(x=1/2)因此当x1/2时，是x的逆元.例题分析（续）(2)设∘运算的单位元和零元分别为e和

8、，则对于任意x有x∘e=x成立，即x+e+2xe=xe=0由于∘运算可交换，所以0是幺元.对于任意x有x∘=成立，即x++2x=x+2x=0=