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1、近世代数学习指导1.判断下列二元关系是否是等价关系：设4=[a,b,c},R{={(a,b),(b,a),(a,a),(b,b)}；/?2={(d,b),(/?,a),(d,Q),(b,b),(c,c)}；/?3={(Q,b),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}；R4={(a,b),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(a,c)}・提示：尺不是等价关系，因为(c,c)胡,即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性;/?2是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性；&不是等价关系，
2、因为(d，C)E/?3,即不具有传递性，尽管具有反身性、对称性；人4不是等价关系，因为即不具有对称性，尽管具有反身性、传递性.2.设A=Z,需{所有偶数}，•是普通数的乘法•证明：(A,・)与(入.)不同构.提示若(人・)与(入•)同构，设0是使具同构的同构映射.设1—2仏一1—2加，那么0(-1)=0(1(-1))=0(1)0(-1)=(2/7)(2肋，所以(2n)(2m0=2m.若m^0，则2n=1,显然矛盾；若加=0,艮卩0(-1)=0,则0(1)=0(-1)0(-1)=0,这样就有1的彖都是0,这与(/)是一一映射矛
3、盾•所以，(A,-)-U(X-)不同构.3.设A={a,b9c}fA的代数运算。由下表给定:oabcClcccbccccccc1.集合4上的变换冇几个？集合A上的单变换冇几个？2.定义在A上的自同态映射有儿个？3.定义在人上的H同构有儿个？并具体写出來？提示：1.27;62.93.2；(7a-^a,bi-^b.cI—>c；t:a-^>b,b—a,cIc4.分别举一个无单位元、有左单位元但无单位元、有单位元的半群的例了.a,提示2Z,•是无单位元的半群；设S={(12)匕如=1,2},(s,o)是具有左单1X位元00但无
4、单位元的半群；Z,•，其中・,0分别表示数的普通乘法、矩阵的普通乘法.1.一个有限群的每一•个元的阶都有限.提示设G是有限群，任取6/GG,则°卫2卫3,…不能全不相同，因G中只有有限个元素之故.设ci—i>j，则厂=e,i_j=k是白然数.命A={kak=e,keN}}则A非空，而自然数的非空集合有最小元设A的最小元为加,则am之，即加是d的周期.2.设G群除单位元以外的每一个元的周期均为2,则G是交换群.提示/aeG，因q?=£,而aa~x=£，故/=刖-1,山消去律知=a；任取a,heG则有a=a~h=h~l,乂
5、(6z/?)_,=h~]a~l=ha，但ahwG,故(ab)"=ah进而，cib=(aby1=b~xa-x=ba,即G是交换群.3.设a的周期为加,b的周期为n,O’)=1,且ab=baf则ab的周期为加m.提示设力的周期为P.由于(ab)mn=am,,b,nH=ef故1叽乂(血严=akmbkm=胪"，而(ab)km=e,故bk,n=e,nkm,但(m,n)=l,故mIR•同样可得nk,再_次利用(/n,n)=1,有mnIk,则有mn=k,即ab的周期为mn.4.证明：阶是索数p的群G—定是循环群.提示因p>1,故存在a
6、eG,a的周期为m>1,又加丨p，而p是素数，则加=/?,即G=(ci)・5.假定群G的元d的周期是〃•证明/的周期是一，这里d=(厂丿)是r和n的授大公d因子.nnrr提示首先{ary=a7=(any=e；其次，若有自然数加，使得(/)”'二纟，则ar，n=s故nIrm,又(n,r)=d,故有整数s、t，使得n=sdyr=td，且(s,t)=1,那么njqsdItdm,即sItm，但(s,t)=1,故siHP—l/n,从而o(ar)=—.10.假定群G的阶为弘且G=(a).证明：G=(/),这里(厂屮)=1.提示因(r,/
7、i)=l,故存在整数$、/,使得rs+nt=f这样有护=/=(/严(护)曲=(/严，故/是G的一个生成元，从而G=(/).(2344)11.已知置换cr=(123)(45),龙==(15243)(54321丿(1)求CT的阶；提示因为o((123))=3,。((45))=2,且(123)(45)=(45)(123),(2,3)=1故0((123)(45))=6・(2)求7T6TI及其阶；提示因为兀-=(34251),故5一】=(154)(23),从而0((123)(45))=6.(3)将71*表示成形式为(lz)的2轮换
8、的乘积.提示因为(也••％)=(也)(也-HQ，G7)=(10(lj)(10>所以Jiok'=(154)(23)=(14)(15)(12)(13)(12).—门234567)12.设
