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《07级近世代数学习指导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、07级近世代数学习指导近世代数学习指导1.判断下列二元关系是否是等价关系：设A{a,b,c},R1{(a,b),(b,a),(a,a),(b,b)}；R2{(a,b),(b,a),(a,a),(b,b),(c,c)}；R3{(a,b),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}；R4{(a,b),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(a,c)}.捉示:R1不是等价关系，因为(c,c)R1,即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性；R2是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性；R3不是等价关系，因为(a,c)R3,即不具有传递
2、性,尽管貝-有反身性、对称性；R4不是等价关系，因为(c,b)R4,即不具有对称性，尽管具有反身性、传递性.2.设AZ,A{所有偶数}，•是普通数的乘法.证明：(A,)与(化)不同构.提示若(A,)一与(化)同构，设是使其同构的同构映射.设12n,12叫那么(1)(1(1))(1)(1)(2n)(2m),所以(2n)(2m02m.若m0,则2n1,显然矛盾；若m0,即(1)0,则(1)(1)(1)0,这样就冇-1,1的象都是0,这与是一一映射矛盾.所以，(A,)与(化)不同构.3.分別举一个无单位元、有左单位元但无单位元、有单位元的半群的例子.al提示2Z,是无单位
3、元的半群；设S{(0a2)
4、aiQ,i1,2},(S,)是具0有左单位元lx00但无单位元的半群；Z,，其中，，分别表示数的普通乘法、矩阵的普通乘法.4.一个有限群的每一个元的阶都有限.提示设G是有限群，任取aG,则a,a2,a3,不能全不和同，因G中只有有限个元素之故.设aiaj,ij,则aije,ijk是自然数.命1A{k
5、ake,kN},则A非空，而自然数的非空集合有最小元，设A的最小元为m,则amo,即m是a的周期.5•设G群除单位元以外的每一个元的周期均为2,则G是交换群.提示aG,因a2e,而aa1e,故a2aa1,出消去律知a1a；任取a,bG则有aa
6、1,bb1,乂(ab)1bla1ba,但abG,故(ab)1ab进而，ab(ab)1bla1ba,即G是交换群.6.设a的周期为m,b的周期为n,(m,n)1,且abba,则ab的周期为mn.提示设ab的周期为k.曲于(ab)mnamnbmne,故k
7、mn,乂(ab)kmakmbkmbkm,而(ab)kme,故bkme,n
8、km,但(m,n)1,故n
9、k.同样可得n
10、k,再一次利用(m,n)1,有mn
11、k,则有mnk,即ab的周期为mn.7•证明：阶是索数p的群G-•定是循坏群.提示因p1,故存在aG,a的周期为m1,乂m
12、p,而p是素数，则inp,即G(a).8.
13、假定群G的元a的周期是n.证明ar的周期是的最人公因子.提示首先(a)amrndnrdrdn,这里d(r,n)是r和nd(a)e；其次，若有自然数in,使得(ar)nie,则nare,故n
14、mi,又(n,r)d,故有整数s、t,使得nsd,rtd,且(s,t)1,那么sd
15、tdm,即s
16、tm,但(s,t)1,故s
17、m,即nn
18、m,从而(ar).dd9.假定群G的阶为n,且G(a).证明：G(ar),这里(r,n)1.提示因(r,n)1,故存在整数s、t,使得rsnt1,这样amG,有amamrsmnt(ar)ms(an)mt(ar)ms,故at是G的一个生成元，从而
19、G(ar).1234410.已知置换(123)(45),)54321(15243(1)求的阶；2)(45)(45)(123),(2,3)1提示因为((123))3,((45))2,且(123故((123)(45))6.(2)求1及其阶；提示因为1(34251),故1(154)(23)，从而((123)(45))6.(3)将1表示成形式为(1i)的2轮换的乘积.提示因为(ili2ik)(ilik)(ilik1)(ili2),(ij)(li)(1j)(li),所以1(154)(23)(14)(15)(12)(13)(12).10.假定〜是一个群G的元间的一个等价关系，并
20、且对于G的任意三个元a,x,y来说，有ax—ayx~y。证明：与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群。证明：设II二[e],由于〜是等价关系，故e〜e,即eH;a,bH,则a〜e,b〜e因而oe〜oa1,be〜bb1,由题设可得e〜a1,e~b1,由对称性及传递性得b1〜a1,alab1〜ale,再由题设得ab1〜。即ab1H,那么与G的单位元。等价的元所作成的集合G的一个子群8.一个群G的可以写成alblab形式的元叫做换位子，证明:(1)所有有限个换位了的乘积组成的集介C是G的一个不变了群，称为G的导群或换位了群；提示由于eelelee,eC；C的两
