离散数学-近世代数-代数结构

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1、离散数学DiscreteMathematicsSchoolofMathematicsandComputingScience第四篇代数系统由集合以及集合上的运算组成的数学结构称为代数结构（也称为代数系统）.代数结构是抽象代数的一个主要内容.研究的中心问题：集合上的抽象运算及运算的性质和结构。什么是代数结构研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领域。应用：现代数学，如拓扑学、泛函分析，等计算机科学：如半群自动机、形式语言群纠错码的设计格和布尔代数计算机硬件设计、通讯系统设计其他：代数方程求解、物理、化学关于代数

2、结构主要内容第12章代数结构的概念第13章半群与群第14章环和域第15章格与布尔代数第12章代数结构的概念第1节代数运算及其性质第2节代数结构的同态和同构重点：代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构难点：同态基本定理代数运算、代数结构S是非空集合，映射f:SnS称为S上的n元运算。写法:f(a,b)=c可改写为:afb=c例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是在集合R上的二元运算。由集合S及S上的封闭运算f1，f2，…，fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作,或（S，f1，f2,…，fk）.例1〈Z;+,＊

3、〉,〈Z;-,＊〉,〈N,-〉,〈{T,F};┐,∧,∨〉,〈P(A);∪,∩〉是否代数系统？需要满足的条件？对于集合A，称运算f:AB是封闭的,如果BA。一个代数系统需要满足以下三个条件：有一个非空集合S；有一些建立在集合S上的运算；这些运算在S上是封闭的。代数系统的基本概念例在整数集合I上定义如下：对任何其中的+，分别是通常数的加法和乘法。那么是一个从I2到I的函数，易知在集合I上是封闭的，是一个代数系统。如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类型的。定义：两个代数系统(U，)与(U

4、，*)，如果满足下列条件：UU；若aU，bU，则a*b=ab；则称(U，*)是(U，)的子系统或子代数。代数系统的基本概念设有代数系统(S，*)，对a，b，cS，如果有(a*b)*c=a*(b*c),则称此代数系统的运算满足结合律。例：设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a，bA，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。证：∵对于任意的a，b，cA，(a★b)★c=b★c=c而a★(b★c)=a★c=c，∴(a★b)★c=a★(b★c)∴★是满足结合律的.代数运算及其性质交换律设有代数系统(S，*)，如果对于a，bS，有a*

5、b=b*a，则称此代数系统的运算“*”满足交换律。例：在整合集合I上定义运算：对任何其中的+，分别是通常数的加法和乘法。可以满足交换律吗？分配律(左分配，右分配)设有代数系统(S，，*)，对a,b,cS，如果有a(b*c)=(ab)*(ac)，则称“”运算对“*”运算满足左分配律。若“*”对“”满足a*(bc)=(a*b)(a*c)，则称“*”对“”满足左分配律若有(a*b)c=(a*c)(b*c)，则称“”对“*”满足右分配律。若(ab)*c=(a*c)(b*c)，则称“*”运算对“”运算满足右分配律。例：代数系统(N，+，

6、×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。是否满足交换律？单位元(幺元)一个代数系统(S，*)，若存在一个元素eU，使得对xS，有：e*x=x*e=x，则称e为对于运算“*”的单位元,也称幺元。注意：单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。左单位元或右单位元(左幺元或右幺元)一个代数系统(S，)，若存在一个元素elS，使得对xS，有：elx=x，则称el为对于运算“”的左幺元。若存在一个元素erS，使得对xS，有：xer=x，则称er为对于运算“”的右幺元。例设代数系统(N，*)，*的定义为：对那么，(N，*)有没有单位

7、元？左幺元？右幺元？解：对任何因此1是右幺元。但1不是左幺元，因为所以(N，*)没有左幺元，当然也就没有幺元。定理代数系统(U,)的单位元若存在，则唯一。证：设e为运算“”的幺元，另有一单位元e，∵e是幺元，∴对xU，有ex=x，取x=e，则ee=e①又∵e是幺元，∴对xU，有xe=x，取x=e，则ee=e②由①②式可得：e=e，即幺元唯一。零元代数系统(S，)，如果存在一个元素θS，使得对xS有：θx=xθ=θ，则称θ为对于运算“”的零元。若只满足θx=θ，则θ称为左零元。若只满足xθ=θ，则θ称为右零元。