2、a)−1⎥；23a⎢⎣⎥⎦2（2）83πa.提示：S=∫∫dS=∫∫2dxdy，其中SD{222}⎧x=u−v∂(x,y)D=(x,y)(x−xy+y)+2a(x+y)≤2a。再令⎨，则=2，⎩y=u+v∂(u,v)222S=∫∫2dxdy=∫∫4dudv，其中D'={(u,v)(u+2a)+3v≤6a}。DD'2（3）(2−2)πa；2a（4）2a，提示：S=∫∫dzdx，D={(z,x)−x≤z≤x,0≤x≤a}。22Da−x20−3π22（5）a；（6）4πab。931644H4．（1）−πa；（2）(1+2)π；（3）2a；（4）2πarctan；215a1
3、1342221222（5）πa.提示：由对称性，∫∫xdS=∫∫ydS=∫∫zdS=∫∫(x+y+z)dS；9ΣΣΣ3Σ156417+432122（6）π.提示：由对称性，∫∫xdS=0，∫∫ydS=∫∫(x+y)dS，15ΣΣ2Σ122∫∫zdS=∫∫(x+y)dS；Σ2Σ222（7）π(a1+a+ln(a+1+a))。43225．R=a,Smax=πa.提示：设Σ的球心在(0,0,a)，则球面Σ在球面32722222222222Rx+y+z=a内部的曲面为：z=a−R−(x+y)，x+y≤R(1−)，24a2R容易求得面积为S=2πR(1−)。2a123+259
4、6−4536．质量为π，重心为(0,0,)。15749⎧0ba2⎩b2222提示：设Σ={(x,y,z)x+y+z=a}，质点位于(0,0,b)点，则球面对质点的⎧x=asinϕcosθG(b−z)⎪引力为F=∫∫dS。令⎨y=asinϕsinθ，则3Σ2222⎪z=acosϕ[x+y+(z−b)]⎩22ππG(b−acosϕ)asinϕ222F=∫∫dθdϕ，再作变量代换t=a+b−2abcosϕ。003(a2+b2−2abcosϕ)2⎧x=x0+Rξ2222R∂u∂u∂u⎪8．（2）(2+2+2).提示
5、：令⎨y=y0+Rη，则6∂x∂y∂z(x,y,z)⎪000⎩z=z0+Rς1*222T(R)=∫∫u(x0+Rξ,y0+Rη,z0+Rς)dS，其中Σ={(ξ,η,ς)ξ+η+ς=1}.4π*Σ利用对称性，有∫∫ξdS=∫∫ηdS=∫∫ςdS=0；∫∫ξηdS=∫∫ηςdS=∫∫ςξdS=0和Σ*Σ*Σ*Σ*Σ*Σ*22221222∫∫ξdS=∫∫ηdS=∫∫ςdS=∫∫(ξ+η+ς)dS；由此得到T'(0)=0和***3*ΣΣΣΣ2221∂u∂u∂uT"(0)=(++)。3222∂x∂y∂z(x0,y0,z0)39．π.提示：过p(x,y,z)点的切平面为xX+
6、yY+2zZ=2，原点到切平面的距离为2⎧x=2sinϕcosθ2⎪⎪ρ(x,y,z)=。令⎨y=2sinϕsinθ，则222x+y+4z⎪z=cosϕ⎪⎩22222222x+y+4z=2sinϕ+4cosϕ，EG−F=sinϕ2sinϕ+4cosϕ，由z3此得到∫∫dS=π。Σρ(x,y,z)210.提示：将xyz−坐标系保持原点不动旋转成x'y'z'−坐标系，使z'轴上的单位1向量为(a,b,c)，则球面Σ不变，面积元dS也不变。设球面Σ上一222a+b+c222点(x,y,z)的新坐标为(x',y',z')，则ax+by+cz=a+b+cz'，于是222∫∫f
7、(ax+by+cz)dS=∫∫f(a+b+cz')dS。ΣΣ计算这一曲面积分，令x'=sinϕcosθ，y'=sinϕsinθ，z'=cosϕ。11．需要100小时.提示：设在时刻t雪堆的体积为V(t)，雪堆的侧面积为S(t)，13132dV9dh13则V(t)=πh(t)，S(t)=πh(t)。由=−S(t)，得到=−，再由412dt10dt10h(0)=130，得到h(100)=0。第2节141.（1）2；（2）−；（3）−2π；15214−21−4（4）当a=e时，I=−(7+e)；当a=e时，I=(1−e)，其他情况下，22⎛1−ae21−ae−2⎞I=
