《2.2.2函数的奇偶性》课件1

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1、高中数学·必修1·苏教版2．2.2函数的奇偶性[学习目标]1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系．3．会利用函数的奇偶性解决简单问题．[知识链接]1．关于y轴对称的点的坐标，横坐标，纵坐标；关于原点对称的点的坐标，横坐标，纵坐标．2．如图所示，它们分别是哪种对称的图形？答案第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形．互为相反数相等互为相反数互为相反数答案　图象关于原点对称．[预习导引]1．如果对于函数f(x)的定义域内的一个x，都有f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))，那

2、么称f(x)是函数．2．偶函数图象关于对称，奇函数图象关于对称．3．奇偶性的应用中常用到的结论(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝.(2)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是函数，且有最小值.(3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是．每偶(奇)y轴原点0增－M增函数解(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－

3、－x

4、＝2－

5、x

6、＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)

7、＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x

8、x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．规律方法　判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f

9、(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．答案(1)③(2)奇解析(1)①④两项，函数均为偶函数，②项中函数为非奇非偶函数，而③项中函数为奇函数．(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．

10、要点二　利用函数奇偶性研究函数的图象例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．答案(－2，0)∪(2，5)解析　因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．规律方法　给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象．作对称图象时，可以先从

11、点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．跟踪演练2设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________．答案{x

12、－5≤x＜－2，或2＜x≤5}解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解．∵当x∈[0，5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5，0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.∴f(x)＜0的解是－5≤x＜－2或2＜x≤5.要点三　利用函数的奇偶性求解析式例3已知函数f(x)(x∈

13、R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．规律方法1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.2．利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．答案(1)④(2)－2再见