高等数学试题答案

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1、试卷一参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5.二、1．解：2．解：由stokes公式知，原式=.(直接计算也简单)4.解：设切点为，则可设曲面在该点的法向量为.平面的法向量，所以由两平面平行的充要条件知故切点为，.所以所求切平面方程为，即.5．解：交换积分次序，原式=.6.解：因为另一方面，为交错级数，且满足单调趋于零，由莱布尼茨定理知收敛，综上可知是条件收敛的.三、解：先求出幂级数的收敛域为，于是设，所以所以，，故四、解：设直角三角形的两直角边分别为，则由题意知，则周长，等号当且仅当成立.所以,斜边之长为4cm的一切直角三角形中最大周长的直角三角形为

2、直角边为cm的等腰直角三角形.（或用三角代换即令，也可用Lagrange乘数法）五、解：可设所求平面的法向量，显然平面还过点，于是所求平面方程为，即.六、解：令根据与路径无关的条件知，即，，于是通过解微分方程结合初始条件得满足条件的函数（或者作辅助函数，则，于是，所以即），所以试卷二参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1.；2.；3.；4.；5.二、选择题（每小题3分，共15分）1.A；2.C；3.A；4.D；5.D三、计算题（每小题6分，共24分）1．解：这里方向即向量,与同向的单位向量为，因为函数可微分，且故所求方向导数为2．解：令，，则，记于是所

3、以又因为，即函数具有二阶连续偏导，故.3．解：4.解：令在全平面区域恒有，所以积分与路径无关，故所求积分为四、计算题（每小题8分，共40分）1.解：在椭圆上任取一点，则其到直线的距离，作Lagrange函数令，联立解得,或.显然，当时取最小值，所以.（本题也可用三角代换法）2.解：先求出幂级数的收敛区间为，于是设，所以由逐项求导知所以，，即取，得故3.解：利用柱面坐标计算三重积分得4.解：所求面积为5.解：由Guass公式得五、证明题（6分）证：由三重积分“切片法”可知试卷三参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5..三、计算题1．解：令，2．解：所以，

4、3.解：对方程两边关于求偏导得：，于是解得类似可求得4.解：利用柱面坐标算三重积分得（最后定积分计算较繁琐，不作要求）5.解：6.解：将第一类曲面积分转化为二重积分计算得7.解：因为，而由比值审敛法收敛，即绝对收敛.另外，由于绝对收敛必收敛，所以收敛.8.解：易得幂级数收敛域为，设，由逐项求导得所以，.9.解：由Dirichlet充分条件知在连续点处可展开成Fourier级数，计算Fourier系数如下故的Fourier级数展开式为三、应用题解：取直线的方向向量为，又由于点在直线上，作向量，因此可设所求平面的法向量，于是所求平面方程为，即.四、证明题方法一（

5、可将条件“在内具一阶连续导数”改弱为“在内连续”）(1)证：因为在内连续，作积分上限函数，则.令，再由在内连续可知二元函数在上半平面可微，且因此，由曲线积分的基本定理（详见教材P213）知曲线积分在上半平面内与路径无关.(2)由(1)可知.方法二(1)证：令因为在内具有一阶连续导数，所以在上半平面内具有一阶连续偏导数且满足，由曲线积分与路径无关的充要条件知，曲线积分在上半平面内与路径无关，证毕！(2)由(1)已证曲线积分在上半平面内与路径无关，故又因为，所以试卷四参考答案一、选择题1.B；2.B；3.A.二、填空题1.；2.；3..三、计算题1．解：易知积分

6、区域为一正四棱锥，由三重积分“切片法”可知2．解：由积分弧段关于轴对称，被积函数为关于的奇函数，由第一类曲线积分对称性结论得.再注意到在椭圆上恒有，于是.3.解：注意到在积分曲面上恒有，所以4.解：首先对函数进行偶延拓，再进行周期延拓，由Dirichlet充分条件可知可展开成以为周期的余弦级数，计算Fourier系数如下故的余弦级数展开式为四、证明题证：因为在上连续，作积分上限函数，则.于是交换积分次序得（不交换次序也可证明，自己试试）五、综合应用题1.解：薄片质量为.2.解：，由逐项求导知即令代入上式得所以，3.解：旋转面为一旋转椭球面，其方程为，令,则曲

7、面在点处的一个法向量为，而且它指向曲面的外侧，故在该点处指向外侧的单位法向量为.20.（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）。已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件。该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为Ｋ（Ｋ为正整数）。（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数Ｋ的值，使完成订单任务的时间最短

8、，并给出时间最短时具体的人数分组方案。21.（本小题