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1、第二章函数与基本初等函数学案5.3平面向量的数量积自主预习案自主复习夯实基础【双基梳理】1.两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a，b，作＝a，＝b，则称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.(2)范围向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.(3)向量垂直如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的或在轴l的方向上的.＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为
2、θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝
3、a
4、cosθ.3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义
5、a
6、
7、b
8、cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝
9、a
10、
11、b
12、cos〈a，b〉.(2)向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝
13、a
14、cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·a＝
15、a
16、2，
17、a
18、＝；④cos〈a，b〉＝(
19、a
20、
21、b
22、≠0)；⑤
23、a·b
24、
25、a
26、
27、b
28、.(3)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a.②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(4)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，
29、b＝(b1，b2)，则-17-第二章函数与基本初等函数①a·b＝2；②a⊥b⇔；③
30、a
31、＝；④cos〈a，b〉＝.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(2)向量在另一个向量方向上的正射影为数量，而不是向量.( )(3)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形.( )(4)两个向量的夹角的范围是[0，].( )(5)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )(6)(a·b)c＝a(b·c).( )考点探究案典例剖析考点突破考点一平面向量数量积的运算例1 (1)(2015
32、·四川)设四边形ABCD为平行四边形，
33、
34、＝6，
35、
36、＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )A.20B.15C.9D.6(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为；·的最大值为.变式训练： (1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝.(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝.-17-第二章函数与基本初等函数考点二用数量积求向量的模、夹角命题点1 求向量的模例2 (1)已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则
37、a＋b
38、等于( )A.1B.C.D.2(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，
39、A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足
40、
41、＝1，则
42、＋＋
43、的最大值是.命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足
44、a
45、＝
46、b
47、，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.π(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是.变式训练：(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝.(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则
48、
49、的最小值是( )A.B.2C.D.6考点三：平面向量与三角函数
50、-17-第二章函数与基本初等函数例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值.变式训练：已知O为坐标原点，向量＝(3sinα，cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈，且⊥，则tanα的值为( )A.－B.－C.D.当堂达标：1.已知向量a与b的夹角为30°，且
51、a
52、＝1，
53、2a－b
54、＝1，则
55、b
56、等于( )A.B.C.D.2.(2015·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于( )A.－a2B.－a2C.a2D.a23.已知单位向
57、量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则
58、a
59、＝.4.已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为.5.(教材改编)已知
60、a
61、＝5，
62、b
63、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的正射影的数量为.巩固提高案日积月累提高自我1.若向量a，b满足
64、a
65、＝
66、b
67、＝2，a与b的夹角为60°，则
68、a＋b
69、等于( )A.2B.2-17-第二章函数与基本初等函
