线性分布载荷作用下功能梯度各向异性悬臂梁的解析解

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1、万方数据应用数学和力学，第28卷第7期2007年7月15日出版AppliedMathematicsandMechanicsV01．28，No．7，J111．15，2007文章编号：1000．0887(2007)07．0763．06⑥应用数学和力学编委会，ISSN1000—0887线性分布载荷作用下功能梯度各向异性悬臂梁的解析解“黄德进1’2，丁皓江1，陈伟球1(1．浙江大学土木系，杭州310027；2．宁波大学工学院，浙江宁波315211)(我刊编委丁皓江来稿)摘要：对功能梯度各向异性弹性悬臂梁在线性分布载荷作用下的弯曲问题进行了研究．从平面应力问题的基本方程出发，假定应力函数为梁长度方向的

2、多项式形式，由应力函数求导给出应力，利用协调方程和边界条件可完全确定应力函数．将解析解与有限元数值方法的结果进行了对比，两者吻合良好．关键词：功能梯度；平面应力问题；应力函数；线性分布载荷；解析解中圈分类号：0343．1文献标识码：A引．言功能梯度材料是材料组分在空间某个方向上呈连续可控制变化的一种材料，因此可通过调节这些复合材料中材料参数随空间的变化规律来优化材料中的应力场．目前，功能梯度材料被越来越广泛地应用，受到了学术界的关注，涌现了大量的研究论文．下面对于功能梯度梁的研究情况简述～下．Sankar[1]研究了功能梯度正交各向异性简支梁在任意法向载荷作用下的问题，他假设所有的弹性系数都

3、与e儿成正比，其中A是常数，z是梁高度方向的坐标；Smakar和TzengL2j研究了正交各向异性简支梁的热应力问题，假设所有弹性系数与ek成正比，热模量与e弦成正比，而温度增量被假定与e“sin＆成正比，在这些条件下，这两个问题都有精确解．同样对于正交各向异性简支梁在任意法向载荷作用下的问题，Zhu和Sankar[3]放弃了弹性常数与e儿成正比的假定，丽改为与互的一个多项式成正比，便不再能用Fourier级数展开方法来求碍精确解，而改用Galerkin方法求近似解．如果简支梁是各向异性情形，上述求精确解的方法，即使对于均匀梁也失效．kkhnitskii[4j采用试凑的方法，对于功能梯度正交

4、各向异性悬臂梁在端部作用横向力和力偶的问题进行了研究，他只假设弹性常数是梁高方向坐标的函数，在函数形式上没有任何限制，所给出的应力表达式仍然十分简洁有用．本文研究了功能梯度各向异性悬臂梁在线性分布载荷作用下的解析解，其材料的弹性柔度系数是梁高度坐标的的函数，其变化没有任何*收稿日期：2006-10—26；修订日期：2007一眸24基金项目：国家自然科学基金资助项目(10472102，10432030)作者简介：黄德进(1968一)，男，浙江宁波人，博士(联系人．E-mail：huangdejin@nbu．edu．cn)；丁皓江(1934一)，男，江苏常州人，教授，博导(Tel：+86—571

5、—87993057；Fax：+86—571—87952165；E—mail：dinghj@zju．edu．cn)．763万方数据764黄德进丁皓江陈伟球限制，该解析解可退化到均匀梁的解．1基本方程平面应力问题的基本方程包括平衡方程，应变和位移关系以及应力应变关系，即篑+鲁=o，篝+鲁=o，(1)e。：譬，￡，：挈，y。，：譬+IOu，(2)ez2瓦，￡y。瓦，y拶2瓦+瓦，u，卜叫11吼¨12叶¨16～一y“12瓯+S220"y¨26～’(3)Lyxv=S160"x+s26仃v+s66Txy，式中Gx、tYy和毛，是应力分量，e。、e，和儿，是应变分量，M和秽是位移分量，对于功能梯度材料，弹

6、性柔度系数是坐标Y的函数，即Si=si(Y)，i，J=1，2，6．由式(2)可以导出应变协调方程≥+鲁一貉一o．㈥2解析解图1所示的悬臂梁，跨度为l，高为h，单位宽度，受到线性分布载荷9作用，取坐标系如图，边界条件为：图1悬臂梁，坐标系和载荷分别为戈：0处的轴力，弯矩和剪力．口，=一qox／l，h，=0(在y=一h／2)，(5)乱=0，毛，=0(在Y=h／2)，(6)No=0，Mo=0，Qo=0(在石=0)，(7a，b，12)“=秽=0，av／Ox=0司￡au／OY=0(在Y=0，戈=z点)，(8)式中qo为线性分布载荷的最大载荷集度．Ⅳ0、慨和Qo应力分量可用应力函数≯表示为：a2j5a2

7、声a2≯吼5狰，Gy2砑’～2一—3x—Oy。这样方程组(1)都得到满足．进一步可设应力函数乒具有如下形式≯=≯o()，)+彬1(y)+X2声2(y)+X3声3()，)，式中声0、声1、声2和声3为待定函数．将式(10)代入式(9)得f瓯=兢+力：+X2苁+X3砖，O'y=24'2+6x拳3，【k：一(≯j+2力j+3x2声；)，(9)(10)(11)式中撇号为对Y求导．从式(11)可以看到，950中的线性项