带积分边界条件的二阶微分方程三个正解的存在性

《带积分边界条件的二阶微分方程三个正解的存在性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、万方数据第27卷第5期北京工商大学学报l自然科学版)V01．27No．52009年9月JournalofBeijingTechnologyandBusinessUniversity(NaturalScienceEdition)Sep．200961文章编号：1671．1513(2009)05—0061．04带积分边界条件的二阶微分方程三个正解的存在性闫东丽，冯美强，李祥贵(北京信息科技大学理学院，北京100192)摘要：运用不动点定理，研究了一类带积分边界条件的二阶微分方程三个正解的存在性．推广了

2、以前的结果．关键词：不动点定理；微分方程；积分边界条件；锥；正解中图分类号：0175．8文献标识码：A常微分方程边值问题理论是常微分方程领域的一个重要分支，其中，带积分边界条件的边值问题的研究日趋活跃(参看参考文献[1-8])．考察下面带积分边界条件的二阶微分方程非局部边值问题正解的存在性：【z”(t)+，(t，z(t))=0，t∈(o，1)，1z(o)：flg(f)z(￡)df，z，(1)：00．(1)Iz(o)=I．g(f)z(￡)df，z7(1)=．、17其中，，和g分别满足(H1)fEC

3、([0，1]×[0，+oo)，[0，+∞))；(H2)g∈L1[0，1】是非负的，并且叮∈[0，1)，其中rl盯=lg(t)dt．(2)J0当g=0时，问题(1)退化为Leggett和William在文献[5]中研究的两点边值问题，作者运用Leggett和Williams’S不动点定理研究了该问题正解的三个存在性．这篇文章中，我们运用Leggett和Williams’S不动点定理，研究当g∈L1[0，1]时，边值问题(1)三个正解存在的充分条件．1准备工作定义1设P是实Banach空间E中一个锥

4、，Pc={z∈P

5、¨z0

6、Iz0=f}。Pc={z∈Pl0z0≤c}．定义2映射口(z)是P上一个非负连续凹泛函，若口：P一[O，+oo)，并且口(toc+(1一t)Y)≥ta(z)+(1一t)口(y)，Vz，Y∈P，0≤t≤1．以下恒用P(口，a，b)表示集合{引z∈P。a≤口(z)，0z0≤b}，这里0

7、』：g(s)z(s)ds，z7(1)=o．‘3’有唯一解z并且可以表示为z(￡)=1．H(￡，s)g(s)ds．(4)其中‰邴㈠卅坦名坐，G㈠沪㈦罴鬟t：：ls，U≮s≮≮1．证明假设z是边值问题(3)的一个解，对公式(3)积分得z7(￡)=z’(o)一I．g(5)ds．(5)再对公式(5)积分得收稿日期：2009一05一lO基金项目：国家自然科学基金资助项目(10671023)．作者简介：闰东丽(1982～)，女，河南周121人．硕士研究生，研究方向为微分方程和差分方程边值问题万方数据62北京

8、工商大学学报(自然科学版)2009年9月z(t)=z(0)+27(0)t—I(t—s)y(s)ds．(6)J0在公式(5)中令t=1得z7(1)2z7(o)一Joy(s)ds，rl⋯z，(0)。j。y(5)ds·再把公式(7)代入公式(6)得z(￡)2j-：g(s)z(s)ds+J。ty(s)ds一‘。I"1广tj-：(￡一s)y(s)幽2J。g(s)z(s)出+J。ty(s)出+j。1ty(s)ds一』：(t—s)y(s)ds==r1rt广1J。g(s)z(5)ds+J。sy(s)ds+J。t

9、y(s)ds2胁s)(』：G㈠咖㈩出胁1一口’z7(￡)=ty(t)+IY(s)ds—ty(t)，J0x7(t)=IY(s)ds，J02”(t)=一Y(t)．即得z”(t)=一Y(t)．容易验证z(o)5J。g(s)z(s)矗s，z7(1)=0-由H(t，s)和G(t，s)的定义知，它们有如下性质．’f。1小)小)出+『：G㈠咖㈤缸(8)有J．。1g(s)z(s)ds=J．。1g(s)(』。1g(s)z(s)ds+』：G(s，r)g(r)dr)小=，：g(J．。1g(s)z(s)丞)丞十eg(s

10、)(-r：G(s，r)g(r)dr)ds．由上式得(1一J。1g(s)ds)f。1g(s)z(s)ds=．f。1小)㈤G㈠咖㈩出kfl—g(s)x(s)ds=妞峰尝业．(9)把公式(9)代入公式(8)得r1z(￡)2J。G(t，s)y(s)ds+丛业生：坠型竺一J'：『(；c。，，，+』·t!半1yc，，d，：=r1lH(t，s)3，(s)幽．J0广1反之，如果z(￡)=lH(z，s)y(s)ds，则必有J0广tr1z(￡)2J。妙(s)幽+Joty(s)幽+命题1对任意t，s∈[0，1]有0≤