一种改进的用于Adams预估校正算法的步长控制方法

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1、2011年3月高等学校计算数学学报第33卷第l期一种改进的用于Adams预估一校正算法的步长控制方法术邵慧超宋东唐小军(西北工业大学航空学院，西安710072)AMODIFIEDSTEPSlZECONTROLFORADAMSPREDICTOR-CORRECTORMETHODSShaoHuichaoSongD0ngTangXiaojun(schoolofAeronautics，NorthwesternPolytechnicalUniversity，Xi'an710072)AbstractAdamspredictor—correctormethodsareamongth

2、emostwidelyusedalgorithmsforsolvinginitialvalueproblemsinordinarydiferentialequationsfODEs)．Variablestepsizetechniquesareemployedtoenhancethenumericalsta-bilitvandaccuracyofthesemethods．Inthispaperamodifiedalgorithmbasedonpredict0rsgivenbyWill6(AdvancesinComputationalMathematics，1998(8

3、)：335—3441forStepsizepredictioninvariablestepsizeAdamspredictor—correetormethodsisDroposed．Inparticular，theexactformofthelocalerrorforavariablestepsizemethodisconsideredandtheimplicationsofthisapproacharethendiscussed·KeYwordsnumericalsolutionofODEs，predictor—correctormethods，variables

4、tepsize,stepsizecontro1．AMS(2000)subjectclassifications65L05中图法分类号O241．811引．曙对于一阶常微分方程Y：f(t，y)(1)收稿日期：2007—04—192011年3月高等学校计算数学学报19．的数值解法，目前常用的主要有两类方法：单步法和线性多步法(LinearMultistepMeth—ods，LMM)．大家所熟知的Runge—Kutta(RK)法即属于单步法，线性多步法主要指AdamsBashforth—Moulton预估一校正公式．由于RK法在每一次迭代过程中需要对f(t，Y)多次求值，求

5、值的次数与RK法的级数和阶数有关[1]，计算工作量比较大，其适合用在f(t，Y)为简单函数的微分方程中．与RK法不同的是，Adams预估～校正法在每个积分步中，只求f(t，Y)两次，而且与方法的阶数无关，因此，在f(t，Y)比较复杂的情况下，如在扰动问题中，Adams预估一校正法就显示出了优越性，但是，Adams预估一校正法与RK法相比较而言，存在一个难以克服的缺陷，那就是步长的选择问题，根据Adams预估一校正法的局部误差公式，步长控制最终变为非平凡多项式求根问题，众所周知，求解一个非平凡多项式的根是非常困难的，而单步法的步长选择就要容易得多．由于Adams预估一

6、校正法步长选择的困难，很多学者在这方面进行了研究，并提出了相应的步长选择算法．文[2】基于步长为常数的假设，得出了计算步长的公式；文[3】在文[2]的基础上，通过观察局部误差公式，获得了一个更好的步长；文[4]提出了一种基于EPUS(Errol·一Per—Unit—Step)的步长选择方法，局部误差公式采用了不甚精确的+1一公式，并给出了关于步长的微分方程，通过解此方程来获得满足误差要求的步长；文f51在此基础上，采用高精度的+一作为局部误差公式，构造一个常微分方程组来求步长．本文在文[2]和[5】的基础上，提出了一种改进的步长控制方法，并给出了相关快速有效的递推计

7、算公式．2步长控制在Adams预估一校正法(E+1E)中，文[2]采用了如下的局部误差【1】观测公式，h(gk+l，1一gk，1)+1(n+1)，(2)其中，h=t卅1一t表示当前的步长大小，+1，1和91是利用递推公式计算的两个积分常量，其大小根据阶数的不同而重新计算，(他+1)是改进的差商公式，其插值点包括下一步的预测值+】=f(t1，+)，表示对函数f(t，Y)进行忌点插值，因此，插值多项式阶数为一1，这个公式是误差控制的基础．特别地，假定常微分方程右边f(t，Y)的阶差商在当前积分区间内缓慢变化，则我们可以利用已知值f[t，t一1⋯．，tn-k1来近似f