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1、有关余数可以为零的几点看法———一个看似毫无价值的问题房县化龙小学刘志在小学三、四年级数学中，出现过这样的问题:（）÷4=（）……（），余数有几个，答案中有3、4个，其中当然有0。在四年级上册数学测试题中也有诸如（）÷5=（）……（），最大的余数是（），最小的余数是（），我们该给予怎样的结论？余数可以为0，最小的余数也是0吗？而在我们绝大多数老师的眼里，在传统的教学程式中，若说：“余数为0，便会引起全体教师辩驳。”回答都是肯定的“余数为0，就是除尽了，余数为0，没有意义。无可异议，最小的余数就不是0了，而是‘1’”。“在整数除法中
2、,余数可不可以为0?”带着这样的凝问，我查过：人教版义务教育课程《数学》,从一年级到六年级,里面专均无“余数可以为0”的表述。在《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆,1996年)我找到了对“余数”一词的解释:“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。如27÷6=4…3。即不完全商是4,余数是3。”这无疑表明余数不能为0。我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本及教学参考,确实没找到“余数可以为0”的明确表述,在三年级上册，下册第26页练习六第3题的指令性语言中,发现了三处“余数为0”的表述。某数除以几、几、十、几
3、百，最后被除数减去商与除数的乘积后，就为0。这明明就说明了余数是0。只不过表明已除尽或整除。当然，即使也这，那也不能完全肯定“余数就为0”。那么“余数能不能为0”？我认为“余数可以为0”。一、关于“0”的说法新课程伊始，在通识培训中，我们的专家教授已对“0”有了新的说法：0是自然数。在《小学数学本质的认识》中，张奠宙教授(华东师范大学教授)有这样一段话：首先，人的经验是，从无到有。我们常说：“从零开始”、“零距离接触”，就表明0是最小的自然数。再比方说，魔术师总是先交代两手空空，再变出一只兔于，然后是两只兔子……铅笔盒中本来是空的
4、，然后装进一支铅笔、两支铅笔，等等。老子的《道德经》里说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”可见，一是由道——一种虚无的存在而产生的。第二，更重要的是书写的需要，10的位置记数写法是10。没有0，就写不出10，20，30，100。所以0，1，2……9这10个数字是最基本的。第三，0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a。在自然数中5-5=0，如果0不是自然数，那么5－5岂不是不能减了?在人教版一年级上册中，也有关于“0”的认识。4书中画了几个盘子，当盘子中连一个桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0。从这个意义上
5、讲,0是空集的基数,学生通过观察也知道，0表示“没有”了。然而,0又是一个确定的数,它是自然数列的起始数。尽管学生还小，他们通过对直尺的观察，也知道了“0”还有另外意义：它表示开始。在有理数中，它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数。从这个意义上讲,0又表示“有”。这一点不难理解。比方说,学生在黑板上写了一个“0”,你总不能说他什么都没写吧!再如,某地某时的气温为0摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!所以,我们应该用对立统一的辩证观点来看待0,0既表示“无”,又可表示“有”。用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当50÷5，
6、345÷15……时,得到的商是一个整数,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为0”,这两种说法是完全等价的,因而都是正确的。二、要用发展变化的观点看待概念间的关系人们对数学概念的认识并非一成不变的,而是处于不断发展变化之中的。例如,“整数”与“分数”最初是两个并列的概念,它们相互排斥,泾渭分明,不容混淆。然而,出于数学自身发展的需要,后来,人们又把整数看做是分母为1,分子为该整数的假分数,如3=3/1,65=65/1。这样一来,“分数”的外延就扩大了,“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为包含关系。“整数”成了“分数”的特例,
7、整数集成了分数集的真子集。原先,整数集与分数集之并集才是有理数集,后来,这种广义的分数集实际上就是有理数集了。人们研究整数除法时,先研究被除数能被除数整除的情形,如15÷5,正好得到整数商3,记作15÷5=3。后来才研究有余数的情形,如16÷5,得到不完全商3后还余1,记作16÷5=3…1。起初,“整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念,前者没有余数,后者有余数,互不相容。后来,为了研究的方便,人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大,让它把原先的两个概念一并囊括。因为这很容易办到:只要把“整除”时的“没有余数”看做“余数为0”
8、即可。这样一来,“整除”就成了“有余数的除法”的特例,“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一,二者统一于广义的“有余数的除法”之中。这么说，也有利于学生后续的数学学习。三、“余数为0”的说法事实上,“余数为0”的提法早被认可。1、《
