S87方向导数与梯度

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1、第八章第七节一、方向导数二、梯度三、物理意义方向导数与梯度一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作方向导数实质上是函数在一点处沿某一方向的变化率。定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有对于二元函数为,)的方向导数为向角定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有该定理对于多元函数任然成立特别:•当l与x轴同向例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:

2、将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：1.定义即称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义同样，三元函数在点处的梯度函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导

3、数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.3.梯度的基本运算公式例4.求解:例5.求三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数量函数)场向量场(向量函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1

4、,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.2.P73题16曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量2.P73题16P512，6，7作业题1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:则