《6.2.3 垂直关系（一）》同步练习

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1、《立体几何初步6.2.3.1》同步练习1．直线a与直线b垂直，b平行于平面α，则a与α的位置关系是(　　)．A．a⊥αB．a∥αC．a⊂α或a∥αD．不确定解析　当b∥面α时，可存在直线a⊂α，a⊥α，a∥α，故关系不确定．答案　D2．已知m、n是两条不重合的直线，α是平面，给出以下命题：①⇒n⊥α；　②⇒m∥n；③⇒n∥α；　④⇒n⊥α.其中正确命题的个数为(　　)．A．1B．2C．3D．4解析　由线面垂直的性质可知①、②正确．③中n∥α或n⊂α，④中n∥α或n⊥α或n⊂α.答案　B3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CD的中点，则下列直线中不

2、互相垂直的是(　　)．A．B1C与D1C1B．D1B与B1CC．A1B与B1C1D．D1B与EF解析　①⇒D1C1⊥B1C②连接BC1，⇒⇒B1C⊥D1B③⇒A1B⊥B1C1④D1B与EF不垂直答案　D4．如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是⊙O上异于A、B的点，则△PAB、△PAC、△PBC、△ABC中，直角三角形的个数是________．解析　显然△PAB、△PAC、△ABC均为直角三角形．对于△PBC：∵PA⊥⊙O，BC⊂⊙O，∴PA⊥BC，又∵AC⊥BC且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.∴△PBC为直角三角

3、形．答案　45．若a，b表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α.解析　由线面垂直的性质定理知①正确．答案　16．如图所示，空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，垂足为E，作AH⊥BE，垂足为H，求证：AH⊥平面BCD.证明　如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF.由已知AC＝BC，AD＝BD，∴AB⊥CF，AB⊥DF.∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.而CD⊂平面CDF，∴AB⊥CD.又∵BE⊥CD，且AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE，又AH⊂平面

4、ABE，∴AH⊥CD.又∵AH⊥BE，且BE∩CD＝E，BE⊂平面BCD，CD⊂平面BCD.∴AH⊥平面BCD.7．E、F分别是正方形ABCD中AB、BC中点，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合于一点P，则有(　　)．A．DP⊥平面PEFB．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEFD．DF⊥平面DEF解析　易知DP⊥PF，DF⊥PE，又PE∩PF＝P.∴DP⊥面PEF.答案　A8．四棱锥PABCD中，侧面最多有______个直角三角形(　　)．A．1B．2C．3D．4解析　如图，底面为矩形ABCD，PA⊥面ABCD时，由线面垂直可知，四个侧

5、面都是直角三角形．答案　D9．如图所示，在五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的符号是________(写出所有符合要求的图形符号)．解析　易判断①④正确．⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此三棱锥APMN是正三棱锥，故图⑤中l⊥平面MNP.同理可否定③，因为AM≠AP≠AN，也易否定②.答案　①④⑤10．给出下列四个命题：①若直线a⊄平面M，直线b⊂M，且a∩b＝∅，则a∥M；②若a⊄M，直线a平行于平面M内的两条直线，则a∥M；③若直线a垂直于平面M内的无数条直线，则a⊥M；④三个互不重合的平面

6、，把空间分成n个部分，n的所有可能值为4，6，7，8.其中正确命题的序号是________．解析　由线面垂直的判定和性质可知①③不正确，②④正确．答案　②④11．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD.证明　(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点，又∵E是PC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵P

7、D＝DC，又∵E是PC的中点∴DE⊥PC.同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.又BC∩PC＝C.∴DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.12．(创新拓展)在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．求证：AC⊥平面EDB.证明　如图，设AC与BD交于点G，则G