《3.2.2空间向量与垂直关系》同步练习1

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1、《3.2.2空间向量与垂直关系》同步练习1一、选择题(每小题6分，共36分)1．若向量m同时垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则(　　)A．m∥n　　　　　　　　　B．m⊥nC．m与n既不平行也不垂直D．以上三种情况均有可能2．已知平面α内的三点A(0，0，1)、B(0，1，0)、C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(　　)A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交不垂直D．以上都不对3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　)A.·＝0B.·＝0C.·＝0D.·

2、＝04．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于(　　)A．(，－，4)B．(，－，－3)C．(，－，4)D．(，，－3)6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)A．ACB．BDC．A1DD．A1A图1二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3

3、)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于________．8．已知A，B，C的坐标为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为________．9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．三、解答题(共40分)10．(10分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1

4、F⊥平面ADE.图2图311．(15分)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图4图512．(15分)如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点．(1)证明平面AD1F⊥平面ADE.(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.参考答案一、选择题1．解析：m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.答案：B2．解析：＝(0，1，－1)，＝(1，0，－1)，n·＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·＝－1×1－1×0＋(－1)×(－

5、1)＝0，∴n⊥，n⊥.∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.答案：A3．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立．故选C.答案：C4．解析：若c·a＝0且c·b＝0⇒/l⊥α，原因是a可能与b共线，而l⊥α则一定有c·a＝0且c·b＝0成立．故选B.答案：B5．解析：由·＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.又⊥平面ABC，∴解得.答案：B6．解析：建立如图1坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E(，，1)．∴＝(

6、，，1)－(0，1，0)＝(，－，1)．＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，－1)，＝(0，0，－1)．∵·＝(，－，1)·(－1，－1，0)＝－＋＋0＝0.∴⊥，∴CE⊥BD.答案：B二、填空题7．解析：∵＝(－2，－6，－2)，＝(－1，6，λ－3)，·＝2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14.答案：－148．解析：利用向量垂直的条件．答案：9．解析：由·＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB；由·＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，由①②知是平面ABCD的法向量，易知不平行，所以①②③正确．答案：①②③三、解答题10．证明：不妨设已知正方体的棱长为1

7、个单位长度．以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E(1，1，)，F(0，，0)，所以＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)，＝(0，1，)．所以·＝0，·＝0＋－＝0.所以⊥且⊥，即D1F⊥AD，D1F⊥AE.又AE∩AD＝A，所以D1F⊥平面ADE.11．图4证明：以C为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，M(，，1)．所以＝(－，－，1)，＝(0，，1)，＝(，－，0)．设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，