平行关系、垂直关系练习

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1、【跟踪训练】1、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，E为PC中点．证明：PA∥面EDB.证明：连结AC交BD于O，连结EO.∵ABCD为正方形，∴O为AC中点．∵E为PC中点，∴OE为△PAC的中位线，故EO∥PA.又EO⊂面EDB且PA⊄面EDB，故PA∥面EDB.2、在直四棱柱ABCD－ABCD中，AA＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱BB、DD、DA的中点．求证：(1)平面ADE∥平面BGF；(2)DE⊥平面AEC.【证明】　(1)∵E，F分别是棱BB，DD的中点，∴BE∥DF且BE＝DF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴DE∥BF，又DE⊂平面ADE

2、，BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.又G是棱DA的中点，∴GF∥AD，又AD⊂平面ADE，GF⊄平面AD1E，∴GF∥平面ADE，又BF∩GF＝F，∴平面ADE∥平面BGF.(2)∵AA＝2，AD=1，∴AD＝，同理AE＝，DE＝，∴AD＝DE＋AE，∴DE⊥AE.∵AC⊥BD，AC⊥DD，BD∩DD＝D，∴AC⊥平面BBDD，又DE⊂平面BBDD，∴AC⊥DE，又AC∩AE＝A，∴DE⊥平面AEC.【点评】　面与面平行的证明转化为线线平行或线面平行的证明是常用的方法，应充分利用三角形的中位线及平行四边形这两种图形中的线线平行来证明．【课堂互动】3、正方体ABCD－ABCD的棱长为1

3、，点F、H分别为AD、AC的中点．(1)证明：AB∥平面AFC；(2)证明：BH⊥平面AFC.【证明】　(1)连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，又F为AD的中点，所以EF∥AB.又EF⊂平面AFC，AB⊄平面AFC，由线面平行的判定定理可得AB∥平面AFC.(2)连BD,在正方体中ABCD为长方形，∵H为AC的中点，∴H也是BD的中点，∴只要证BD⊥平面ACF即可．由正方体性质得AC⊥BD，AC⊥BB，∴AC⊥平面B1BD，∴AC⊥BD，又F为AD的中点，∴AF⊥AD，又AF⊥AB，∴AF⊥平面ABD，∴AF⊥BD，又AF、AC为平面ACF内的相交直线．∴BD⊥平面ACF.即

4、BH⊥平面ACF.【点评】　证明线面垂直，往往利用线线垂直或面面垂直转化，除此外，构造等腰三角形证垂直及利用勾股定理求长度之间的关系证明垂直，甚至借助矩形相邻边的垂直等，都是可能用到的方法．【互动探究】4、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB.【解】　(1)证明：因为PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD.连结BD，因为ABCD为菱形，∠DAB＝60°，所以AB＝BD，所以BQ⊥AD因为BQ⊂平面PQB，PQ⊂平面

5、PQB，BQ∩PQ＝Q，所以AD⊥平面PQB，因为AD⊂平面PAD，所以平面PQB⊥平面PAD5．如图，在正三棱柱ABC－ABC中，点D在边BC上，AD⊥CD.(1)求证：AD⊥平面BCCB；(2)设E是BC上的一点，当的值为多少时，AE∥平面ADC？请给出证明．解：(1)证明：在正三棱柱中，CC⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC又AD⊥CD，CC∩CD于C，且CC⊂平面BCCB，CD⊂平面BCCB内，∴AD⊥平面BCCB(2)由(1)得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点．当＝1，即E为BC的中点时，AE∥平面ADC.在正三棱柱ABC－ABC中，四边形BCCB是矩形

6、，且D、E分别是BC、BC的中点，∴BB∥DE又BB∥AA，且BB＝AA，∴DE∥AA，且DE＝AA.∴四边形ADEA为平行四边形，∴AE∥AD.而AE⊄平面ADC，故AE∥平面ADC