《3.1.1 椭圆（2）》同步练习

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1、《3.1.1椭圆（2）》同步练习基础达标一、选择题1．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)A．　　B．　　C．　　D．[答案]　B[解析]　本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋c)2⇒3a2－2ac－5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)⇒e＝或e＝－1(舍)，故选B.2．(2014·潍坊二中调研)如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(3

2、，＋∞)∪(－∞，－2)D．(3，＋∞)∪(－6，－2)[答案]　D[解析]　由于椭圆的焦点在x轴上，所以即解得a>3或－6b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)A．B．C．D．[答案]　C[解析]　本题考查了椭圆的定义，几何性质及离心率的求法．△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒

3、PF2

4、＝

5、F2F1

6、＝2(a－c)＝2c⇔e＝＝.注意数形结合思想是解析几何的核心．二、填空题4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，

7、F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．[答案]　＋＝1[解析]　本题主要考查椭圆的定义及几何性质．依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝2，∴b2＝8.∴椭圆C的方程为＋＝1.5．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径长为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是r1，r2，则卫星轨道的离心率为________．[答案]　[解析]　易知a－c＝r1＋R，a＋c＝r2＋R，∴2a＝r1＋r2＋2R，2c＝r2－r1，∴e＝＝三、解答题6．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0

8、)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．[分析]　本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力．[解析]　由e＝＝，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.能力提升一、选择题1．椭圆＋＝1与＋＝1(0

9、9，16<25－k<25，∴25－k－9＋k＝16，故两椭圆有相等的焦距．2．(2014·全国大纲理)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1[答案]　A[解析]　本题考查了椭圆的定义，离心率的计算，根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，b＝2，椭圆的离心率e＝＝.3．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1、F2.若

10、AF1

11、，

12、F1F2

13、，

14、F1B

15、成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　

16、)A．B．C．D．－2[答案]　B[解析]　∵A、B分别为左右顶点，F1、F2分别为左右焦点，∴

17、AF1

18、＝a－c，

19、F1F2

20、＝2c，

21、BF1

22、＝a＋c，又由

23、AF1

24、、

25、F1F2

26、、

27、F1B

28、成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝.4．我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设＋＝1(a>b>0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于(　　)A．60°B．75°C．90°D．120°[答案]　C[解析]　cos∠ABF＝＝＝＝＝0∴∠ABF＝90°，选C.5．若点O和点F分别

29、为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A．2B．3C．6D．8[答案]　C[解析]　由题意，得F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则y＝3(1－)(－2≤x0≤2)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3(1－)＝(x0＋2)2＋2，所以当x0＝2时，·取得最大值6.二、填空题6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率00，∴a2>1，∴1

30、4.7．椭圆＋＝1的左焦