《2.3.1 数学归纳法》导学案

《《2.3.1 数学归纳法》导学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《2.3.1数学归纳法》导学案课程目标引航1．了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理和实质．2．掌握用数学归纳法解证明题的两个步骤，并能灵活应用．基础知识梳理对数学归纳法的理解(1)数学归纳法原理：数学归纳法原理是设有一个关于________的命题，若当n取__________时该命题成立，又在假设当n取__________时该命题成立后可以推出n取__________时该命题成立，则该命题对一切自然数________都成立．(2)数学归纳法：数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题．证明需要经过

2、两个步骤：①验证当n取______________(如n0＝1或2等)时命题正确．②假设当__________时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当________时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于______________都正确．【做一做1】在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应检验(　　)．A．n＝1时成立B．n＝2时成立C．n＝3时成立D．n＝4时成立【做一做2】已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2＋…＋时，若已假设n＝k(k≥2，且k为

3、偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)．A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立【做一做3】用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，且n＞1)时，在证明从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是(　　)．A．2kB．2k－1C．2k－1D．2k＋1答案：(1)正整数n　第1个值n0　第k个值　第k＋1个值　n≥n0(2)第一个值n0　n＝k　n＝k＋1　从n0开始的所有正整数【做一做1】C　多边形中至少有三条边，故应

4、先验证n＝3时成立．【做一做2】B　因为已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，接下来应该证明n＝2，即n＝k＋2时命题为真．而选项中n＝k＋1为奇数，n＝2k＋2和n＝2(k＋2)均不满足递推关系，所以只有n＝k＋2满足条件．【做一做3】A重点难点突破1．用数学归纳法证明时注意事项剖析：(1)n的取值范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次数(或其他)，确定n＝k时命题的形式f(k)；(3)从f(k＋1)和f(k)的差异，寻找由k到k＋1的递推中，左边要加(乘)上的式子．2．数学归纳法

5、能够证明无限多正整数都成立的问题剖析：这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时成立，这样假设就有了存在的基础．假设k＝n0成立，根据假设和合理推证，证明出n＝k＋1也成立．这实质上是证明了一种循环．如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立，这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3也成立；n＝3成立，则n＝4也成立．如此反复，以至无穷．对所有n≥n0的整数就都成立了．数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇．典型例题领悟题型一　用数学归纳法证明恒等问题【例1

6、】用数学归纳法证明：n∈N＋时，＋＋…＋＝．分析：在证明时，要严格按数学归纳法的步骤进行，并要特别注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项．反思：在解本题时，由n＝k到n＝k＋1时，等式的左边增加了一项，这里容易因忽略而出错．题型二　用数学归纳法证明整除问题【例2】证明：n3＋5n(n∈N＋)能被6整除．分析：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，第一步应证明n＝1时成立，第二步应明确目标，在假设k2＋5k能被6整除的前提下，证明(k＋1)

7、3＋5(k＋1)也能被6整除．反思：在证明归纳递推时，要注意使用归纳假设，把“证明的目标”牢记在心．题型三　利用数学归纳法证明几何问题【例3】平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2(n∈N＋)个部分．分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，就有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋

8、1)＝f(n)＋2n．有了上述关系，数学归纳法的第二步证明可迎刃而解．反思：对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎样变化的，然后再去证明，也可以用“递推”的办法，比如本题，n＝k＋1时的结果已知道：f(k＋1)＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，用f(k＋1)－f(k)就可得到增加的部分，然后从有限的情况来理解如何增加的，也就好理解了．答案：【例1】证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，∴等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时等式成