《2.3.1 数学归纳法》教学案1

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1、《2.3.1数学归纳法》教学案1一、教学目标:1.了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的一般步骤。2.掌握数学归纳法证明问题的方法。3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。二、教学重点:掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。难点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。三、教学过程:【创设情境】1.华罗庚的“摸球实验”。2.“多米诺骨牌实验”。问题:如何保证所摸的球都是红球?多米诺骨牌全部倒下?处了利用完全归纳法全部枚举之外,是否还有其它方法?数学归纳法:数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演

2、绎推理,它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是处理自然数问题的有力工具。【探索研究】1.数学归纳法的本质:无穷的归纳→有限的演绎(递推关系)2.数学归纳法公理:(1)(递推奠基):当n取第一个值n0结论正确;(2)(递推归纳):假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确;(归纳假设)证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。【例题评析】例1:以知数列{an}的公差为d,求证:说明:①归纳证明时,利用归纳假设创造递推条件,寻

3、求f(k+1)与f(k)的递推关系,是解题的关键。②数学归纳法证明的基本形式;(1)(递推奠基):当n取第一个值n0结论正确;(2)(递推归纳):假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确;(归纳假设)证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。EX:1.判断下列推证是否正确。P882,32.用数学归纳法证明      例2:用数学归纳法证明(n∈N,n≥2)说明:注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。EX:1.用数学归纳法证明:(1)

4、当n=1时,左边有_____项,右边有_____项;(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项;(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项;(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?变题:用数学归纳法证明(n∈N+)例3:设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n)(n∈N,n≥2)说明:注意分析f(k)和f(k+1)的关系。【课堂小结】1.数学归纳法公理:(1)(递推奠基):当n取第一个值n0结论正确;(2)(递推归纳):假设当

5、n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确;(归纳假设)证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。2.注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件,寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.【反馈练习】1.用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=42.用数学归纳法证明第二步证明从“k到k+1”,左端增加的项数是()A.BCD3.若n为大于1的自然数,求证证明(1)当n=

6、2时,(2)假设当n=k时成立,即4.用数学归纳法证明【课外作业】书本作业

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