法向量“法力无边” (2)

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1、法向量“法力无边”平行、垂直的证明，空间角和距离的计算是立体几何中“青春永葆”的话题，也是“亘古不变”的难题。难点在于解决这些问题时，需要作图。特别是角和距离的计算需要作出垂线段和角，令其“有形”，方可操作。应用法向量可以突破这一难点。如果一个非零向量与平面垂直，则称向量为平面的法向量。求法向量的步骤：（1）设此面的法向量为（x，y，z）（2）因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：（x1，y1，z1）,（x2，y2，z2））则有：（3）因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以

2、必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。一、线面角θA.法向量向上时α∵α(所求的角)+θ=90°图1∴sinα=cosθB.法向量向下时θα∵θ=α(所求的角)+90°图2∴sinα=sin（θ-90°）=-cosθ>0综上有：sinα=例1如图3，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。求与平面ABD所成角的正弦。【分析及解】本题按传统方法，需

3、要作在平面ABD上的射影，比较复杂，若用法向量来解，则可简化问题：以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，∴，，，，∵点E在平面ABD上的射影是的重心G，∴平面ABD，∴，解得，∴，，图3∵平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量；由二、二面角设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图4）或（图5）图4图5例2.如图6，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且。求二面角的大小。解取BC的中点O，连AO。图6由题意平面平面，，∴平面，

4、以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则，，，，∴，，，由题意平面ABD，∴为平面ABD的法向量。设平面的法向量为，则，∴，∴，即。∴不妨设，由，得。故所求二面角的大小为。三、点面距离设为平面的法向量，A，B分别为平面内，外的点，则点B到平面的距离。略证：图7例3如图8，已知正四棱柱，点E为中点，点F为中点。求点到平面BDE的距离。解以D为原点，建立如图8所示的直角坐标系，则，，，，∴，，，设平面BDE的法向量为，则，，图8∴，∴，即，∴不妨设，则点到平面BDE的距离为，即为所求。四、异面直线间距离是两条异面直线，

5、其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离，则。例4．已知M，N分别是棱长为1的正方体的棱和的中点，求：异面直线MN与间的距离。【分析及解】本题需要找出异面直线与的公垂线段,比较麻烦,可以考虑用法向量来解答：以D为原点,DA,DC,DD1分别为X、Y、Z轴建立如图1的空间直角坐标系，则，由于M、N是的中点，则，从而，，设与都垂直的方向向量为，则即即，不妨设，所以异面直线MN与间的距离为。图91.（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角

6、的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M12.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.解(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中，A

7、D=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.3.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0

8、）.……4分（Ⅰ）,因为，所以CM⊥SN……6分（Ⅱ）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则……9分因为所以SN与片面CMN所成角为45°。……12分4.如图，直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC，AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3EB（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线A