《平面的法向量与平面向量的表示》同步训练2

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1、《3.2.2平面的法向量与平面向量的表示》同步训练2一．选择题（共7小题）1．已知直线l过点P（1，0，﹣1），平行于向量，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（　　）A．（1，﹣4，2）B．C．D．（0，﹣1，1）2．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（　　）A．2：3：（﹣4）B．1：1：1C．﹣：1：1D．3：2：43．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）A．AC⊥BEB．△AEF的面积

2、与△BEF的面积相等C．EF∥平面ABCDD．三棱锥A﹣BEF的体积为定值4．已知A（﹣4，6，﹣1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的是（　　）A．（0，1，6）B．（﹣1，2，﹣1）C．（﹣15，4，36）D．（15，4，﹣36）5．设两不同直线a，b的方向向量分别是，平面α的法向量是，则下列推理①；②；③；④；其中正确的命题序号是（　　）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④6．如果直线l的方向向量是，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是，那么（　　）A．l⊥αB．l∥αC．l⊂αD．l与α斜交7．如图，三棱柱A1B1C

3、1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（　　）A．CC1与B1E是异面直线B．直线AC⊥平面ABB1A1C．直线A1C1与平面AB1E不相交D．∠B1EB是二面角B1﹣AE﹣B的平面角二．解答题（共3小题）8．在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．（1）求EF的长（2）证明：EF∥平面AA1D1D；（3）证明：EF⊥平面A1CD．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：（1）FC1∥平面A

4、DE；（2）平面ADE∥平面B1C1F．10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面积ABCD为矩形，PA⊥平向ABCD，E为PD的中点，AB=AP=1，AD=，试建立恰当的空间直角坐标系，试求直线PC的一个法向量和平面PCD的一个法向量．　《3.2.2平面的法向量与平面向量的表示》同步训练2参考答案一．选择题（共7小题）1．D2．A3．B4．B5．B6．B7．D二．解答题（共3小题）8．解：（1）如图建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），∵E，F分别为AB，A1C的中点，∴E（2，1，0），

5、F（1，1，1），=（﹣1，0，1），∴

6、

7、==．（2）∵=（﹣2，0，2）=2，∴EF∥AD1，又AD1⊂平面AA1D1D，EF⊄平面AA1D1D，∴EF∥平面AA1D1D．（3）=（0，﹣2，0），=（﹣2，0，﹣2），∵=0，=0，∴EF⊥CD，EF⊥A1D，又CD∩A1D=D，∴EF⊥平面A1CD．9．解：如图所示建立空间直角坐标系D﹣xyz，则有D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（2，2，1），F（0，0，1），B1（2，2，2），所以=（0，2，1），=（2，0，0），=（0，2，1）．（1）设=（x1，y1，z1）是平面ADE

8、的法向量，则⊥，⊥，即⇒，令z1=2⇒y1=﹣1，所以=（0，﹣1，2）因为•=﹣2+2=0，所以⊥，又因为FC1⊄平面ADE，即FC1∥平面ADE．（2）因为=（2，0，0），设=（x2，y2，z2）是平面B1C1F的一个法向量．由⊥，⊥，得⇒．令z2=2⇒y2=﹣1，所以=（0，﹣1，2），所以=，所以平面ADE∥平面B1C1F．10．解：如图所示，建立空间直角坐标系A﹣BDP．A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，，0），D（0，，0），P（0，0，1）．=（1，，﹣1），设直线PC的一个法向量为=（x，y，z），则=x+y﹣z=0，取=（，﹣1，0）．=（0，，﹣1）

9、，设平面PCD的一个法向量=（x1，y1，z1），则，，令z1=，y1=1，x1=0，∴=（0，1，）．