3.2.2平面的法向量与平面的向量表示(2).doc

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1、3.2.2平面的法向量与平面的向量表示(2)一、学习目标掌握点、线在平面内的射影概念、平面斜线的概念,能运用向量证明三垂线定理及其逆定理,并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直、线面垂直.二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1.下列命题中,正确的命题有()(1)平面的每条斜线都垂直于这个平面内无数条直线;(2)若一条直线垂直于平面的斜线,则此直线必垂直斜线在此平面内的射影;(3)若平面的两条斜线段相等,则它们在同一平面内的射影也相等;(4)若一条线段在平面外且不垂直于这个平面,则它的射影长一定小于线段的长.A.1个B.2个C.3个D.4个2.P是

2、边长为a的正六边形ABCDEF所在平面外一点,PA⊥AB,PA⊥AF,为求P与CD间距离,作PQ⊥CD于Q,则()A.Q为CD的中点B.Q与D重合C.Q与C重合D.以上都不对3.直角三角形ABC的斜边BC在平面a内,顶点A在平面a外,则三角形ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边组成的图形只能是()A.一条线段B.一个锐角三角形C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过8个顶点中的任意3个可以作平面,其中与某一对角线垂直的平面我们称其为“有效垂面”,则这样的“有效垂面”一共有()A.4个B.6个C.8个D.10个(二)填空题5.从平面a

3、外一点A向平面a引斜线AB、AC,斜足为B、C,AB⊥AC,且AB=2,直线AB与平面a成30°角,则线段AC长的取值范围是______.6.PO⊥平面ABC,O为垂足,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=5,PA=PB=PC=10,则PO的长等于______.7.P为△ABC所在平面外一点,则在△ABC,△PAB,△PBC,△PCA中,直角三角形最多可能有______个.8.如图,E、F分别是正方体的ADD1A1面、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体面上的射影可能是下图中的______.(要求:把可能的图的序号都填上)9.已知平面a的一条斜线l1和另一条直线l2

4、在平面a内的射影分别为图形F1F2,给出下列关于F1,F2的形状描述:(1)为两条相交直线;(2)为两条平行直线;(3)依次为一个点和一条直线;(4)依次为一条直线和一个点;(5)为两个点;(6)为一个点;(7)为一条直线.则其中可能正确的描述有______.(填上所有可能正确的描述序号)(三)解答题10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1A,AB上的点,若∠NMC1=90°,求证:MB1⊥MN.11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.12.如图所示,正三

5、棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等,E是AB1的中点,点F在BC上,满足BF∶FC=1∶3,求证:EF⊥BC.三、自我评价完成时间成功率札记参考答案3.2.2平面的法向量与平面的向量表示(2)1.A2.C3.D4.C5.6.7.48.(2)(3)提示:四边形BFD1E在正方体上、下、前、后四个面的射影均为(2),在左右两个面上的射影为(3)9.(1)(2)(4)(7)10.解:∵C1B1⊥平面ABB1A1,∴MB1是斜线C1M在平面ABB1A1上的射影.∵.∠NMC1=90°,∴C1M⊥MN.∴MB1⊥MN.11.证明:由题建立如图的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0

6、,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E(0,0,)则设平面AA1C1C的一个法向量为则令x=1,得y=1.∴.设平面AEC1的一个法向量为则令z=4,得x=1,y=-1∴∵.∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.12.证明:作AN⊥BC于点N,EH⊥平面BCC1B1于点H,连接NB1、FH,因为正三棱柱ABC-A1B1C1,所以N为BC中点,H在NB1上,且FH是EF在平面BCC1B1内的射影.又E是AB1的中点,所以H是NB1的中点.因为BF∶FC=1∶3所以F是BN的中点.所以FH∥BB1.∵BC⊥BB1,所以BC⊥FH,∴EF⊥BC.

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