3.2.2平面的法向量与平面的向量表示(2).doc

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1、3．2．2平面的法向量与平面的向量表示(2)一、学习目标掌握点、线在平面内的射影概念、平面斜线的概念，能运用向量证明三垂线定理及其逆定理，并能运用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直、线面垂直．二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．下列命题中，正确的命题有()(1)平面的每条斜线都垂直于这个平面内无数条直线；(2)若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直斜线在此平面内的射影；(3)若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；(4)若一条线段在平面外且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．A．1个B．2个C．3个D．4个2．P是

2、边长为a的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，为求P与CD间距离，作PQ⊥CD于Q，则()A．Q为CD的中点B．Q与D重合C．Q与C重合D．以上都不对3．直角三角形ABC的斜边BC在平面a内，顶点A在平面a外，则三角形ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边组成的图形只能是()A．一条线段B．一个锐角三角形C．一个钝角三角形D．一条线段或一个钝角三角形4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过8个顶点中的任意3个可以作平面，其中与某一对角线垂直的平面我们称其为“有效垂面”，则这样的“有效垂面”一共有()A．4个B．6个C．8个D．10个(二)填空题5．从平面a

3、外一点A向平面a引斜线AB、AC，斜足为B、C，AB⊥AC，且AB＝2，直线AB与平面a成30°角，则线段AC长的取值范围是______．6．PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于______．7．P为△ABC所在平面外一点，则在△ABC，△PAB，△PBC，△PCA中，直角三角形最多可能有______个．8．如图，E、F分别是正方体的ADD1A1面、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体面上的射影可能是下图中的______．(要求：把可能的图的序号都填上)9．已知平面a的一条斜线l1和另一条直线l2

4、在平面a内的射影分别为图形F1F2，给出下列关于F1，F2的形状描述：(1)为两条相交直线；(2)为两条平行直线；(3)依次为一个点和一条直线；(4)依次为一条直线和一个点；(5)为两个点；(6)为一个点；(7)为一条直线．则其中可能正确的描述有______．(填上所有可能正确的描述序号)(三)解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1A，AB上的点，若∠NMC1＝90°，求证：MB1⊥MN．11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．12．如图所示，正三

5、棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都相等，E是AB1的中点，点F在BC上，满足BF∶FC＝1∶3，求证：EF⊥BC．三、自我评价完成时间成功率札记参考答案3．2．2平面的法向量与平面的向量表示(2)1．A2．C3．D4．C5．6．7．48．(2)(3)提示：四边形BFD1E在正方体上、下、前、后四个面的射影均为(2)，在左右两个面上的射影为(3)9．(1)(2)(4)(7)10．解：∵C1B1⊥平面ABB1A1，∴MB1是斜线C1M在平面ABB1A1上的射影．∵．∠NMC1＝90°，∴C1M⊥MN．∴MB1⊥MN．11．证明：由题建立如图的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0

6、，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)则设平面AA1C1C的一个法向量为则令x＝1，得y＝1．∴．设平面AEC1的一个法向量为则令z＝4，得x＝1，y＝－1∴∵．∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．12．证明：作AN⊥BC于点N，EH⊥平面BCC1B1于点H，连接NB1、FH，因为正三棱柱ABC－A1B1C1，所以N为BC中点，H在NB1上，且FH是EF在平面BCC1B1内的射影．又E是AB1的中点，所以H是NB1的中点．因为BF∶FC＝1∶3所以F是BN的中点．所以FH∥BB1．∵BC⊥BB1，所以BC⊥FH，∴EF⊥BC．