[理学]理论力学第4章

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1、§4.2空间转动参照系§4.1平面转动参照系第四章转动参照系§4.3非惯性系动力学（二）＊§4.4地球自转所产生的影响＊§4.5傅科摆牵连速度相对速度§4.1平面转动参照系(1.2.8)位矢速度加速度其中其中相对加速度牵连加速度科里奥利加速度由题设：相对速度(沿槽切线)牵连速度（沿切线）例1、半径为R的圆盘以等角速度ω绕其中心转动，盘上有一半径为r的圆槽，一质点在此槽内以等速v沿槽运动，求此质点的绝对速度和绝对加速度。解：平面转动参照系设：动系原点总与静系原点重合，轴与永远重合，动坐标以绕轴转动：（沿切线）加速度：又依题意：例圆盘半径为R，以匀角速度ω绕垂直于盘心O的轴

2、线转动．一质点沿径向槽自盘心以匀速度v’向外运动．试求质点加速度各分量的量值．t时刻t+△t时刻解相对变化率牵连变化率绝对变化率§4.2空间转动参照系任一矢量平面转动系中速度牵连速度相对速度加速度相对加速度牵连加速度科里奥利加速度讨论：1、v′＝0时2、ω＝0时3、ω是一恒矢量时4、推广到更一般的情况：O与O′不重合，且有相对运动速度加速度补充例题4.1P点在一半径为R的球上以速度v’沿球的经线作匀速运动，球以匀角速ω绕其竖直直径转动，求P点的绝对加速度。解：牵连加速度相对加速度科氏加速度1.平面转动参照系对于匀速转动，该项为零惯性离心力科里奥利力§4.3非惯性系动力学

3、（二）绝对加速度相对加速度例2.在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球，此管以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动。如果起始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反作用力。解:先用非惯性参照系小球运动微分方程改用惯性参照系，选极坐标系运动微分方程比较如用柱坐标，可求出y方向的反作用力。3、如图所示，质量为m的质点被两弹簧系住，并被约束在水平圆盘上沿AB振动，圆盘绕铅直轴以匀角速度转动，弹簧的弹性系数为k，如质点振动时无摩擦力，求质点振动的周期。由非惯性系动力学方程得：令振动周期：解：建立动坐标系2.空间转动参照系讨论：3

4、.相对平衡若P固着在S′系不动，则即为刚体在S′中的相对平衡条件主动力、约束反力之和牵连运动引起的惯性力例3.质量为ｍ的小环，套在半径为ａ的光滑圆圈上，并可绕圆圈滑动，若圆圈在水平面内以匀角速ω绕圈上某点Ｏ转动，试求小环绕圆圈切线方向的运动微分方程。分析受力：mg,N惯性力科里奥利力动力学方程为解：以地面为惯性系O-ξηζ。圆圈为非惯性系O-xyz，固定在圈上oxyc只要求切线方向的微分方程，所以只考虑切向分量惯性离心力大小：切向分量（圆圈光滑）因而切线方向：oxyc例4.轴为竖直而顶点向下的抛物线形光滑金属丝，以匀角速度ω饶竖直轴转动，另有以质量为ｍ的小环套在此金属丝

5、上，并沿金属丝滑动，试求小环的运动所满足的微分方程。已知抛物线方程为x2=4ay，其中ａ为常数。解：以地为惯性系，原点在O，金属丝为非惯性系，固连动坐标系0-xyz作用力：,约束反力xy惯性力科里奥利力设微分方程由（1）、（2）式：（1）（2）（3）45二式相比，得由图知（7）（8）xy代入得将两边求导，得代入(7)式得同理可得：如果物体静止，则只有惯性离心力作用，使得重力小于引力，随着纬度变化。在赤道处最小，在两极处最大。引力的作用线通过球心，但是重力作用线一般不通过球心。§4.4地球自转所产生的影响地球公转角速度很小，而且所产生的惯性离心力几乎与太阳引力抵消。自转角

6、速度约为可产生一些可观察的现象。1.惯性离心力2.科里奥利力demo贸易风由于极地和赤道之间的对流产生了南北方向的贸易风。科里奥利力的影响，使之偏转，在北半球产生东北贸易风（sinλ>0，自北向南的气流偏西），在南半球产生西南贸易风（sinλ<0，自南向北的气流也偏西）。轨道磨损和河岸冲刷在北半球，科里奥利力总指向运动的右侧，这种作用使得北半球河流右岸的冲刷甚于左岸，铁路右轨的磨损大于左轨。在南半球，情况正好相反。3.落体偏东问题略去ω2项，可得轨道方程落地时§4.5傅科摆1851年，傅科在巴黎圣母院用67米长的单摆进行实验，根据摆的振动平面偏转效应证明地球自转博得了很

7、大的声誉，被命名为傅科摆。联合国大厅和北京自然博物馆门口就有一个傅科摆。JLFoucaultDemo可略去ω2项z方向振幅很小，可略去又摆作两种周期运动轨迹为椭圆或直线在北半球，椭圆长短轴以角速度作顺时针旋转。解：如图在等腰直角三角形内建立坐标。这是个平面转动坐标系问题，它满足下面公式：4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速ω绕顶点O转动。某一点P以匀相对速度沿AB边运动，当三角形转了一周时，P点走过了AB。如已知AB=b，试求P点在A时的绝对速度与绝对加速度。xyxyz解：如图在圆锥体上建立坐标这是个空间转动坐标系问题，它满