[理学]力学第5章

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1、5.1质点的角动量角动量定理1.质点的角动量称为质点相对参考点O的角动量或动量矩第5章角动量角动量守恒定律例：求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量任意时刻t，有（1）对A点的角动量（2）对O点的角动量2.质点的角动量定理角动量的时间变化率力矩定义：对O点力矩质点的角动量定理大小质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率3角动量守恒定律则或若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，,则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。若质点的角动量定理例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？例.试利用

2、角动量守恒定律:1)证明关于行星运动的开普勒定律:任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变.(2)说明天体系统的旋转盘状结构.(1)行星对太阳O的角动量的大小为其中是径矢r与行星的动量p或速度v之间的夹角.表示时间内行星所走过的弧长,则有表示从O到速度矢量v的垂直距离,则有用[证明]时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积,如图中所示.其中是d/dt称为掠面速度.由于万有引力是有心力,它对力心O的力矩总是等于零,所以角动量守恒,L=常量,行星作平面运动,而且这就证明了掠面速度不变

3、,也就是开普勒第二定律.(2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构5.2质点系的角动量定理mimjm1O质点系角动量第i个质点角动量的时间变化率质点系的角动量定理时质点系的角动量守恒例.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？hhm1m2解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的轴为参考点，把两个小孩看成一个系统。此系统的总角动量为v1左边孩子向上的速度；v2右

4、边孩子向上的速度；此系统所受外力矩：只有两个小孩所受重力矩，彼此抵消。（内力矩不改变系统角动量。）因此整个系统角动量守恒。R设两个小孩起初都不动，即以后，虽然v1,v2不再为零，但总角动量继续为零，即v1,v2随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。若两个小孩重量不等，即系统所受外力矩系统总角动量仍设起初两个小孩都不动，由角动量定理若有轻的升得快；hhm1m2R例.光滑水平桌面上放着一质量为M的木块,木块与一原长为L0,劲度系数为k的轻弹簧相连,弹簧另一端固定于O点.当木块静止于A处时,弹簧保持原长,设一质量

5、为m的子弹以初速v0水平射向M并嵌在木块中.当木块运动到B(OBOA)时,弹簧的长度为L.求木块在B点的速度vB的大小和方向.解:(1)m和M相撞时,系统的动量守恒(2)AB,只有弹力作功,机械能守恒(3)AB,弹力对O点的力矩为零,对O点角动量守恒5.3刚体的定轴转动(1)平动:在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行ABA′B′B〞A〞刚体的平动任意质元运动都代表整体运动(2)定轴转动刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动1.刚体的平动和定轴转动用质心运动代表刚体的平动（质

6、心运动定理）2用角量描述转动1)角位移θ:在t时间内刚体转动角度2)角速度:3)角加速度:θz刚体定轴转动角速度的方向按右手螺旋法则确定切向分量法向分量zO线量与角量关系匀变速直线运动匀变速定轴转动5.4定轴转动刚体的角动量定理角动量守恒质点系的角动量定理Z轴分量质元对O点的力矩（垂直z轴）zO（垂直z轴）1.刚体对转轴的力矩和角动量质元到转轴的垂直距离刚体到转轴的转动惯量对固定轴zO2.刚体对定轴的角动量守恒角动量定理1质点由微分式积分式2质点系由微分式积分式3定轴转动刚体积分这里定轴转动刚体角

7、动量守恒若转动惯量有变化，则有：1.刚体定轴转动定律与牛顿第二定律对比刚体到转轴的转动惯量转动惯量的物理意义:(1).刚体转动惯性大小的量度(2).转动惯量与刚体的质量有关(3).J在质量一定的情况下与质量的分布有关(4).J与转轴的位置有关对比刚体的角动量和质点的动量与对应5.5定轴转动刚体的转动定律转动中的功和能2.转动惯量的计算称为刚体对转轴的转动惯量对质量连续分布刚体线分布面分布体分布是质量的线密度是质量的面密度是质量的体密度例:一均匀细棒长l质量为m1)轴z1过棒的中心且垂直于棒2)轴z2过棒一端

8、且垂直于棒求:上述两种情况下的转动惯量OZ1解:设棒质量的线密度λ所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义OZ2l有关转动惯量计算的几个定理1）平行轴定理h式中:关于通过质心轴的转动惯量m是刚体质量,h是c到z的距离是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量zC2）转动惯量叠加，如图式中:是A球对z轴的转动惯量是B棒对z轴的转动惯量是C球对z轴的转动惯量3）回转半径任意刚体的回转半径式中:J是刚体关于某一轴的转动惯量,m