向量概念案例分析

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1、第二讲参与本讲的嘉宾姓名单位职称、职务王尚志首都师范大学教授罗强苏州第五中学特级教师张思明北大附中特级教师（正文）张思明：各位老师大家好，欢迎老师们继续参加我们高中数学新课程第四模块的课题研讨。我们从今天的课开始，主要来讨论向量这部分的内容。我们把这个内容分成了三块：第一个我们要来讨论如何建立向量的概念；第二块我们要来讨论向量里最核心的基本定理；第三块我们要来讨论向量的运算。这里面我们也把三角函数恒等变形跟向量联系起来，把运算的能力加强作为一个讨论的重点。首先我们会做一个向量的起始课，看一看老师们如何结合物理背景来建立起向量的概念。我们给大家

2、的一个课例展示，是西安高新一中的（杨天旭）老师为我们提供的一个课例。我们一起来看一下这个课例。杨天旭：下面我们先来观察两个实例，仔细观察一下这张图，图中有一队帆船在这里要进行比赛。他们要从A地向西北方向航行15海里到达B地。为了更好的突出A地和B地，这里我用另一张图来表现。这样的线条可以到达B地。现在有一支帆船是这样行进的，它也走了15海里。大家思考这只帆船为什么没到达B地？学生：因为他的方向不对。杨天旭：没有保证他的航向，航行方向不对。非常好！我们再看一个例子，这是来自于物理当中的一个例子。说现有一个放置在水平位置上的物体，在水平方向上，以

3、5牛的力才能够把该物体拉动。现在F1表示5牛的力。现在有一个人，用与地面成30度角大小仍然是5牛的力来拉这个物体。请问他能把这个物体拉动吗？这个物理知识有一定的关系但并不难。同学：拉不动。因为那个方向的分力是小于5牛的，因此他是拉不动5牛的。杨天旭：很好事实上确实是拉不动，但是注意到这两个力的大小都是5牛，为什么产生的效果却不一样呢？同学：因为他的方向不同。杨天旭：非常好还是一个方向问题。下面同学们根据上面两例以及你们在生活当中见到的一些例子来谈一谈他们的共同性。知道的请举手。学生：我觉得以上提到的两个量不仅有大小而且还有方向，如果方向不一样

4、就算大小一样的话他们的作用效果也不一样。杨天旭：也就是说他们的共性在于刚才我们见到这两个例子当中的量是由两个因素决定的是吧。学生：是的一个是大小一个是方向。杨天旭：缺一不可？学生：对！杨天旭：非常好！那么在现实生活中这样的量还有很多我们把这样的量，叫做既有大小又有方向的量。再回答一个问题，那么这样的量与我们以前见到的长度面积质量等量有什么关系有什么不同呢？学生：我觉得他们都有长度都有一定的大小，不同之处是今天学的这个量有方向。杨天旭：相同的地方就是他们都有大小。不同的地方就是今天学的这个量还有方向。而长度面积质量这些量是没有方向的这些量在物理

5、当中叫做什么？我们今天看到这两个例子当中的量在物理当中叫什么那么今天所学的量之所以与以前的不同就在于他多了一个方向的因素我们把他称为有方向的量简称为向量。这就是本章要学的内容平面向量。今天我们来学习它的概念。我们通过实际例子已经清楚了，什么叫向量那么你会表示向量吗？你会表示一个向量吗？我们要研究它你首先应该能够表述它大家想想谁能回答我这个问题学生：我觉得应该画出来。杨天旭：画出来什么学生：画出来一条有方向的线段，通过这个线段的长短来表示这个量的大小。通过它的方向来表示这个向量的方向。这样就可以把这个量的大小范围表示出来。杨天旭：很好！简单的说

6、他说用一条线段就可以表示但是这样的线段和我们平常见到的线段不一样。它特别强调的是什么？方向。那么我们这样的向量叫做什么？有向线段。那么什么是有向线段？简单的说就是有方向的线段。我们再思考一下，在物理当中我们表示矢量的时候怎么表示啊？是不是也是用一条线段啊？那么这线段怎么画的？是一条带箭头的线段。我们把一条带箭头的线段叫做有向线段。根据刚才（王侧）同学谈到的。说这样的线段可以来表示一个向量。他也说了一些理由但是我觉得没有完全说清楚。所以我想把这个题再问一下。为什么有向线段可以表示一个向量？学生：因为向量的定义是既有大小又有方向，然后有向线段就可

7、以表示一个量的大小，然后又是有向的，就可以表示方向。杨天旭：也就是用这个有向线段的长度来表示向量的大小，然后用箭头所指的方向表示向量的方向。那么这就说明什么呢？可以用有向线段来表示而且说明了为什么可以用有向线段来表示向量。但是接下来我们用什么办法来计它呢？这个时候我们就要翻回来再研究一下有向线段。首先有向线段应该是一条线。那么一条线段就应该有两个端点；其次它是有方向的。假如现在方向指向B点的话，那么这个有向线段就画出来了。那么这个时候，我们用什么东西来记这个向量呢？可以把它记为他们。学生：不行。杨天旭：为什么不行？学生：没有方向。杨天旭：那应

8、该怎么记呢？加一下，再回过来。这条有向线段的长度表示了这个向量的大小。那么这两条有向线段的长度又用什么来表示这里也有一个交代，用了哪个符号啊？说它表示的就是向量的大