《4.1 定积分的概念》导学案

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1、《4.1定积分的概念》导学案课程学习目标1.理解连续函数的概念，会根据函数图像判断函数是否连续.2.会用分割、近似替代、求和、取极限等方法求曲边为二次函数曲线段的曲边梯形的面积.3.会求汽车做变速运动时在某一段时间内行驶的路程.4.通过求变速直线运动在某一段时间内的行驶路程，体会“以直代曲”和“以不变代变”的思想方法.5.了解定积分的概念，会通过四步曲求连续函数的定积分.6.了解定积分的几何意义及性质.课程导学建议重点:通过实例理解定积分的含义，初步掌握定积分的概念和求定积分的四步曲，理解“以直代曲”思想和无线逼近的

2、含义.难点:对定积分概念的理解和对“以直代曲”思想的理解.第一层级知识记忆与理解知识体系梳理创设情境我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“直边图形”的面积，在物理中，我们知道了匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中，我们经常会遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、变速直线运动物体的位移、变力做功的问题.如何解决这些问题呢？因为现有的知识无法解决这些问题，所以我们需要另寻方法.知识导学问题1:求曲边梯形面积的步骤是(1)　分割　；(2)　近似替代　；(3)　求和　；(4)　逼近　. 问题

3、2:定积分的定义一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数y=f(x)，将[a，b]区间分成n份，分点为a=x0

4、果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个　固定的常数A　，我们就称　A　是函数y=f(x)在区间[a，b]上的　定积分　，记作. 问题3:定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有　f(x)≥0　，那么定积分 问题4:定积分的性质(1)=　b-a　； (2)(3)(4)(其中a

5、“化曲为直，以直代曲，化圆为方”的数学思想方法，让正多边形的周长无限逼近圆的周长.基础学习交流1.把区间[1，3]等分n份，所得n个小区间的长度均为(　　).A.　　　B.　　　C.　　　D.【解析】区间的总长度为2，则每个区间的长度为，【答案】B2.汽车以v=v(t)在[0，t]内作直线运动经过的路程为S，则下列叙述正确的是(　　).A.将[0，t]等分n份，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s是S的不足估计值B.将[0，t]等分n份，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s是S的过剩估计值C.将[

6、0，t]等分n份，n越大，求出的s近似替代S的精确度越高D.将[0，t]等分n份，当n很大时，求出的s就是S的准确值【解析】当n越大时，分割成的小区间长度越小，则求出的s近似替代S的精确度越高.【答案】C3.计算定积分:

7、x

8、dx=　　　　. 【解析】

9、x

10、dx表示由y=

11、x

12、，x=±1以及x轴所围成的平面图形的面积，∴dx=(-x)dx+xdx=×1×1+×1×1=1.【答案】14.利用几何意义计算定积分.【解析】由直线x=-1，x=3，y=0，以及y=3x+1所围成的图形，如图所示:表示由直线x=-1，x=3，y

13、=0以及y=3x+1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴=×(3+)×(3×3+1)-(-+1)×2=-=16.第二层级思维探究与创新重点难点探究探究一求曲边梯形的面积求由曲线f(x)=2x，直线x=1，直线x=0及x轴所围成的平面图形的面积S，并写出估计值的误差.【方法指导】通过将区间分割，得到一些小矩形，计算曲边梯形面积的过剩估计值和不足估计值.【解析】(1)分割:将区间[0，1]等分5份，即插入4个分点，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形.(2)近似替代:若用f(

14、0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2，f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2.若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的