[工学]概率统计模型

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1、数学建模竞赛§1报童的诀窍§2随机人口模型§3牙膏的销售量§4健康与疾病§5钢琴销售的存贮策略第五讲概率统计模型确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑概率模型统计回归模型马氏链模型随机模型确定性模型随机性模型问题报童售报：a(零售价)>b(购进价)>c(退回价)售出一份赚a-b；退回一份赔b-c每天购进多少份可使收入最大？分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的

2、期望§1报童的诀窍建模设每天购进n份，日平均收入为G(n)调查需求量的随机规律——每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…准备求n使G(n)最大已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c求解将r视为连续变量结果解释nP1P2取n使a-b~售出一份赚的钱b-c~退回一份赔的钱0rp背景一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区平均生育率平均死亡率确定性模型一个家族或村落出生概率死亡概率随机性模型对象X(t)~时刻t的人口,随机变量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差§2随机人口模型若X(t)

3、=n,对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与t成正比，记bnt;出生二人及二人以上的概率为o(t).2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt;死亡二人及二人以上的概率为o(t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。bn与n成正比，记bn=n,~出生概率；dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。进一步假设模型假设建模为得到Pn(t)=P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1,t内出生一人X(t)=n+1,t内死亡一人X(t)=n,t内

4、没有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t)bn-1tPn+1(t)dn+1tPn(t)(1-bnt-dnt)o(t)~一组递推微分方程——求解的困难和不必要(t=0时已知人口为n0)转而考察X(t)的期望和方差bn=n，dn=n微分方程建模X(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=k求解比较：确定性指数增长模型X(t)的方差E(t)-(t)-=rD(t)E(t)+(t)Et0n0,D(t)X(t)大致在E(t)2(t)范围内（(t)~均方差）r~增长概率r~平均增长

5、率问题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量(百万支)价格差（元）广告费用(百万元)其它厂家价格(元)本公司价格(元)销售周期§3牙膏的销售量基本模型y~公司牙膏销售量x1~其它厂家与本公司价格差x2~公司广告费用x2yx1yx1,x2~解释变量(

6、回归变量,自变量)y~被解释变量（因变量）0,1,2,3~回归系数~随机误差（均值为零的正态分布随机变量）MATLAB统计工具箱模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)输入x=~n4数据矩阵,第1列为全1向量alpha(置信水平,0.05)b~的估计值bint~b的置信区间r~残差向量y-xbrint~r的置信区间Stats~检验统计量R2,F,py~n维数据向量输出由数据y,x1,x2估计参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-

7、3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123结果分析y的90.54%可由模型确定参数参数估计值置信区间17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123F远超过F检验的临界值p远小于=0.052的置信区间包含零点(右端点距零点很近)x2对因变量y的影响不太显著x22项显

8、著可将x2保留在模型中模型从整体上看成