概率统计方法模型(上)

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1、第6章概率统计方法模型在对实际问题进行数学建模的过程中，人们经常遇到随机性的不确定问题，用传统的数学建模方法难以解决。此时，就需要基于概率论和数理统计知识，运用概率统计的方法建立数学模型，对实际问题进行求解，揭示事物发展的基本规律。本章详细介绍用概率统计方法建模的基本思路，结合实际的案例，指出如何用随机变量和概率分布来描述随机不确定事件，说明求解概率统计类模型的一般过程，并指出该类数学模型在社会调查、影响因素分析、发展趋势模拟等方面的广泛应用。§6.1概率模型与MonteCarlo模拟6.1.1概率模型

2、（1）传染病随机模型在各种传染病的流行过程中，无论健康人还是病人，任何两个人之间接触的机会都是随机的，而且当健康人与病人接触时，健康人是否被传染也是一个随机的事件。我们通过建立传染病随机模型来分析这些随机规律。假设人群总的规模为N，在总人群中，病人的数量为m，健康人的数量为s，即满足N=m+s。在人们的日常生活中，任意两人之间（包括健康人和病人）接触的概率相同，每人平均与k个人接触。当健康人和病人接触时，被传染的概率为p。在以上假设的参数中，m和s通常是已知的，k和p可以通过专家的经验和统计数据获得。我

3、们分析的目的是寻找健康人群中每天平均被感染的人数与已知参数之间的关系，以及初始参数对传染病的扩散速度和流行趋势的影响。我们首先以每一名健康人为研究对象，探讨其每天被感染的概率，而每一名健康人被一名指定病人接触并传染的概率等于每名健康人与指定传染者接触的概率乘以接触时感染的概率。记人群中任意两人接触的概率为q，则对每一名健康人来说，其每天接触的人数服从二项分布，分布函数为lln-l-1PlCq1q{=}=(),（6.1.1）n-1这个分布的期望为k，即k=n(1)q，进而qkn=(1)。这样，一

4、名健康人被一名指定病人接触并感染的概率为pkppq==.1n1m进一步，对人群中的每一名健康人来说，其每天不被感染的概率为()p，被感染的概率为mp=1(p).（6.1.2）2所以，对人群中的所有健康人来说，每天被感染的人数服从二项分布，分布函数为llslPlC{=}=p(1p),（6.1.3）s22每天被感染的人数期望为=sp，标准差为2()=s(1pp)22为了得到简明的结果，对p进行近似计算，由于通常人群的总数nk，且根据Talyor展开，2得pkmmpkmpk

5、p=1()=1(1+)，2nn11n1因此，smpksn-spk()==sp=.（6.1.4）2n1n-1通过式（6.1.4）可以看出平均每天被感染的人数与s、m、p和k之间的关系。进而可以度量平均每天被感染人数的相对误差即()nmpk=（6.1.5）smpk由式（6.1.4）可以看出，对于健康人群来说，每天平均被感染的人数与人群中每人每天平均接1触的人数k，健康人与病人接触时被感染的概率p成正比。当n，p，k都确定的情况下，sn=时，2也就是在整个人群中，病人和健康

6、人的数量各占一半时，每天被感染的人数达到最大。为了对传染病的传染过程有一个直观的了解，假设一个人口总量n=10000的人群，在日常生活中，平均每人每天接触的人数k=18，健康人与病人接触时被感染的概率p=10%，对于不同的m，平均每天被感染人数与相对误差()的变化趋势如图6.1.1和图6.1.2所示。可见被感染人数随着病人数量的增大而增大，直到病人数量占总人群数量的一半时达到最大，随后呈下降趋势。随着病人人口的增加每天被感染人数的相对误差一直呈减少趋势，尤为明显的是病人数量增长的前期，相对误差急

7、剧减少。图6.1.1平均每天被感染人数的趋势图图6.1.2平均每天被感染人数的相对误差趋势R编程如下：crb<-function(m,n=10000,p=0.1,k=18)#函数{u<-(m*(n-m)*p*k)/(n-1);u}m<-1:10000plot(1:10000,crb(m),xlab="m",ylab="平均每天被的传染人数",type="l",col="blue")crb1<-function(s,n=10000,p=0.1,k=18)#相对误差函数{miugama<-((n-1-m*

8、p*k)/((n-m)*m*p*k))^0.5;miugama}m<-1:6000plot(1:6000,crb1(m),xlab="m",ylab="相对误差",type="l",col="red")（2）企鹅繁殖模型企鹅的繁殖过程是一个典型的随机不确定模型。首先，每只母企鹅下蛋的数量是随机的，服从泊松分布，其次，每个企鹅蛋是否可以成功孵化也是不确定的。针对这一问题，我们在合理假设的基础上，建立概率模型，求企鹅后代个数的期望值。根据人们的