[理学]概率统计模型1

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1、概率统计模型自然界中存在两种现象：确定性现象和不确定性现象．同一实验或者试验在不同次重复中，可能出现不同的结果的现象称为随机现象．随机现象的结果尽管是不确定的，但是，同一随机现象的多次重复却表现出某种规律性，即同一事件在不同次试验或者实验中出现的概率是确定的、唯一的．因此，随机现象中包含确定性现象．对随机现象的研究可以通过对随机现象的某些事件的发生概率来研究．变量之间也存在两种关系：确定性关系和不确定性关系．确定性关系：可用一个表达式确切描述，如圆的面积与半径之间的关系．描述确定性关系的数学模型有函数，微分方程，差分方程等．不确定性关系：不

2、可用一个表达式确切描述，如人的体重与身高等．不确定性关系在现实生活中大量存在，即使许多看来是确定性关系的变量，在实际中也会受到各种不同随机因素的影响而变得不确定，确定性关系只是它们的一种近似，如自然科学的很多规律．本章主要介绍利用概率统计知识分析随机现象和随机数据，建立随机模型，求解随机模型，并对得到的结果进行分析，最后运用于实际．第一节介绍几个直接利用概率知识的建模问题，如赌博问题，巴拿赫(Banach)火柴盒问题，信与信封的配对问题，切割机的收益问题；第二节回归分析模型，主要介绍施肥效果分析问题；第三节判别分析模型，主要介绍螨虫分类问题

3、；第四节时间序列分析，主要介绍Chesapeake海湾的收成预测问题；第五节随机模拟模型，主要介绍利用随机模拟方法产生随机数据及模拟随机现象的方法；第六节排队论模型，主要介绍用排队论的方法分析，处理等候问题．通过以上这些模型和方法的学习，使读者了解和掌握一些处理随机问题的一般思想和方法，如果读者想进一步学习和了解随机数学的专业理论与方法，可阅读随机数学的一些分支的专门著作，如：随机过程，时间序列分析，回归分析，多元统计分析等．§4-1几个直接利用概率知识的建模问题对随机现象的研究可以通过对随机现象的某些事件的发生概率来研究．本节就来介绍几个

4、概率模型，主要利用的基本知识就是古典概率模型的概率计算及其相关问题，随机变量的概率分布及其计算．可以参看任意一本大学理工科的《概率论与数理统计》教科书[7]，也可以参考周义仓、赫孝良两位老师编写的教科书[6]．问题描述问题1：赌博问题均匀正方体骰子的六个面分别编号1，2，3，4，5，6．现将一对骰子抛掷6次以决定胜负，请问将赌注押在“出现两个１点”和“完全不出现两个１点”哪个更有利？问题2：巴拿赫(Banach)火柴盒问题波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有根火柴．使用时，每次随机地从其中一盒中取出一根．试求他将一盒

5、火柴用完时，另一盒剩余火柴根数的分布律．问题3：信与信封的配对问题某人给它的个朋友写信，写好后，分别将这些信装入个信封中，并在信封上随机、不重复地写上个收信人的地址．问他一个都没写正确和恰有个写正确的概率各是多少？　问题4：切割机的收益问题[3]一台线切割机把金属线切割成规定的长度．由于切割机的某种不准确性，切割线的长度可以看作是在区间上的均匀分布的随机变量．规定的长度是12cm．如果，该种线能卖出去而获利润0.25元．如果，可以重切，并且最后得到0.10元的利润，而如果，则以0.02元的损失丢弃．试计算：如果切割段金属线，那么，请估计平均

6、每根金属线为老板贡献的利润是多少？问题求解1.问题１的求解问题１是一个古典概率模型的概率计算问题．解决这样的问题的关键就是事件的表示．为此，我们令分别表示第次抛掷骰子时第枚骰子（）出现１点的事件．那么，在第次抛掷中，两枚骰子都出现１点的事件表示为　　　　　　　　　(4.1.1)而6次抛掷中至少出现一次两个１点的事件可以表示为　　　　　　　　　(4.1.2)这样，事件的对立事件是(4.1.3)所以(4.1.4)由于事件相互独立，于是有(4.1.5)而所以(4.1.6)这样，出现两个一点的概率是0.1555，大大小于完全不出现两个一点的概率0.

7、8445．因此，应将赌注押在＂完全不出现两个一点＂上．2.问题2的求解设巴拿赫总共取出的火柴根数为，而分别来自于两个火柴盒，设从左右口袋的两个火柴盒中分别取出的火柴根数分别是，于是　　　　　　　　　　(4.1.7)而用表示总共剩余的火柴根数，于是　　　　　(4.1.8)那么，我们要计算的随机变量的分布列．设巴拿赫发现左口袋火柴刚好取完时，右口袋里还剩根火柴，因此，右口袋已经被取了根．这样，当巴拿赫首次发现左口袋没有火柴时，已经进行了次随机试验．在这次试验中，事件，即火柴取自左口袋出现了次，事件，即火柴取自右口袋出现了次．对右口袋先取完，我们

8、又类似的讨论．这样，这个问题实际上是一个二项分布的概率计算问题．于是　　(4.1.9)3.问题3的求解经过分析，问题相当于将封写好的信放到写着正确地址的信封．问题要求，计算所有的