chart4带权的插值型求积公式

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1、带权的插值型求积公式其中为[a,b]上的权函数。7/12/20211yfnie@nwpu.edu.cn7/12/20212yfnie@nwpu.edu.cn带权的插值型求积公式(2)代数精确度至少为n次7/12/20213yfnie@nwpu.edu.cn求积公式含有2n+2个待定参数能否通过节点以及求积系数的选择将代数精确度提的更高，即超过n次，最高能达到多少次？5Gauss型求积公式7/12/20214yfnie@nwpu.edu.cn也就是说无论节点及其系数如何选择，求积公式的精度不可能达到2n+2次。讨论续无论怎么选择节点，总存在多项式7/12/20

2、215yfnie@nwpu.edu.cn若是上的一组互异节点，且求积公式达到2n+1次代数精度，则称该求积公式为Guass型求积公式，其求积节点（k=0,1,…,n）称为高斯点，系数称为高斯系数。Gauss型求积公式定义7/12/20216yfnie@nwpu.edu.cn①．高斯型求积公式一定是插值型求积公式，其系数由高斯点唯一确定。直接利用代数精确度的定义求得高斯点以及高斯系数需要解非线性方程组，很困难。当高斯点确定后，可以用基函数插值的方法或者解线性方程组的方法求得。②．高斯型求积公式是精度最高的求积公式。结论7/12/20217yfnie@nwpu.

3、edu.cn高斯点确定以后，高斯系数也可以由如下插值型求积公式中的系数公式确定：确定.即可由线性方程组7/12/20218yfnie@nwpu.edu.cn求积公式至少具有n次代数精确度的充要条件是它是插值型的充分性：如果求积公式为插值型，利用截断误差知对于任意次数n的多项式f(x),有R[f]=0，故求积公式至少具有n次精度。引理7/12/20219yfnie@nwpu.edu.cn必要性：设求积公式具有n次代数精度。用n次插值函数，仍有，根据插值型求积公式定义知，其求积公式为插值型求积公式。必要性证明7/12/202110yfnie@nwpu.edu.

4、cn定理：插值型求积公式中的节点是高斯点的充要条件是，在[a,b]上，以这些点为零点的n+1次多项式与任意次数不超过n的多项式P(x)带权正交，即高斯点的选取定理7/12/202111yfnie@nwpu.edu.cn必要性：证明：设是高斯点，于是对任意次数不超过n的多项式P(x)，的次数不超过2n+1充分性：对任意次数不超过2n+1的多项式f(x)用除的商为p(x),余项为q(x)。对任意次数不超过n的多项式P(x)有7/12/202112yfnie@nwpu.edu.cn充分性所给的求积公式是插值型的，其代数精度至少为n。即求积公式具有2n+1次代数精度

5、，从而是一组高斯点。7/12/202113yfnie@nwpu.edu.cn当为正交多项式系中的n+1次多项式取，则有n+1个互异的零点，且对任意次数不超过n的多项式有[a,b]上带权正交的n+1次多项式的零点就是高斯型求积公式的一组高斯点。由正交多项式的性质知它在开区间上存在n+1个互不相同的零点。Remark7/12/202114yfnie@nwpu.edu.cn①.高斯型求积公式是收敛的。②.高斯型求积公式是稳定的。（j=0,1,…n）故高斯求积系数Aj一定为正。高斯公式是稳定的。高斯型求积公式的收敛性和稳定性注：收敛性论证需用Weierstrass定

6、理。7/12/202115yfnie@nwpu.edu.cn高斯型求积公式的截断误差定理：设在内只有2n+2阶导数，则高斯型求积公式的余项为：证明：设为满足的Hermite插值多项式，则次数。7/12/202116yfnie@nwpu.edu.cn由于高斯型求积公式的代数精度为2n+1，故高斯型求积公式具有代数精度高、且总是收敛、稳定的优点。也可构造复化高斯求积公式。7/12/202117yfnie@nwpu.edu.cn1.高斯—勒让德求积公式几种特殊的高斯型求积公式7/12/202118yfnie@nwpu.edu.cn当积分区间为时，可通过变换将变换为

7、高斯点为n+1次切比雪夫多项式的零点：高斯—切比雪夫求积公式7/12/202119yfnie@nwpu.edu.cn高斯—拉盖尔求积公式7/12/202120yfnie@nwpu.edu.cn高斯-埃尔米特求积公式7/12/202121yfnie@nwpu.edu.cn例：求高斯型求积公式的系数及节点解：对函数类f(x)=1，积分公式精确成立的。高斯型求积公式的构造举例7/12/202122yfnie@nwpu.edu.cn求解方法设高斯点是二次函数的零点.7/12/202123yfnie@nwpu.edu.cn6数值微分6.1插值法建立求导公式：插值型求导

8、公式以离散数据近似表达插值多项式的导数作为未知函数的