代数精度插值求积及复化公式.ppt

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1、但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往往会遇到下面情况：1.函数f(x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验测试数据形成的表格或图形。关于定积分的计算，我们知道，只要求出f(x)的一个原函数F(x)，就可以利用牛顿—莱布尼慈（Newton-Leibniz）公式出定积分值：3.f(x)的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。2.f(x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进而建立起上机计算定积分的算法。此外，数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。数值积分1.1构造数值求积公式的基本思想定积分I=∫abf(x)dx

2、在几何上为x=a,x=b,y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，是不规则图形的面积。由积分中值定理，对连续函数f(x)，在区间[a,b]内至少存在一点，使：也就是说,曲边梯形的面积I恰好等于底为b-a,高为f()的规则图形—矩形的面积(图7-1),f()为曲边梯形的平均高度,然而点的具体位置一般是不知道的,因此难以准确地求出f()的值。但是,由此可以得到这样的启发,只要能对平均高度f()提供一种近似算法,便可以相应地得到一种数值求积公式。图7-1abξ如用两端点的函数值f(a)与f(b)取算术平均值作为平均高度f()的近似值,这样可导出求积公式：第七

3、章数值积分与微分7-3更一般地在区间[a,b]上适当选取某些点xk(k=0,1,…,n),然后用f(xk)的加权平均值近似地表示f(),这样得到一般的求积公式：其中,点xk称为求积节点,系数Ak称为求积系数，Ak仅仅与节点xk的选取有关,而不依赖于被积函数f(x)的具体形式。另一方面定积分的定义，其中xk是[a,b]的每一个分割小区间的长度,它与f(x)无关,去掉极限,由此得到近似计算公式：因此，式（7-1）可作为一般的求积公式,其特点是将积分问题归结为函数值的计算,从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难,适合于函数给出时计算积分,也非常便于设计算法,便于上机计算。求积公式（

4、7-1）的截断误差为：Rn也称为积分余项.1.2代数精度定义1如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成立，而至少对一个m+1次多项式不精确成，则称该公式具有m次代数精度。一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用，由定义1容易得到下面定理。数值积分是一种近似计算,但其中有的公式能对较多的函数准确成立,而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分公式的准确差别,引入代数精度的概念。试验证梯形公式具有一次代数精度。例1可以证明矩形公式的代数精度也是一次的。定理1一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求积公式对1,x,x2,…,xm精确成立，而对xm+1不精确成立。第七

5、章数值积分与微分7-6上述过程表明,可以从代数精度的角度出发来构造求积公式.如,对于求积公式（7-1）,若事先选定一组求积节点xk(k=0,1,…,n,),xk可以选为等距点,也可以选为非等距点,令公式对f(x)=1,x,…,xn精确成立,即得：这是关于A0、A1、…、An的线性方程组,系数行列式为范德蒙行列式,其值不等于零,故方程组存在唯一的一组解。求解方程组(7-2)确定求积系数Ak,这样所得到的求积公式(7-1)至少具有n次代数精度.例2确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度。解：求积公式中含有三个待定参数,可假定近似式（7-3）的代数精度为m=2,则当f(x)=1，x，x2时，式（7

6、-3）应准确成立，即有：代回去可得：检查（7-4）对m=3是否成立,为此,令f(x)=x3代入（7-4）,此时左边第七章数值积分与微分7-8再检查（7-4）对m=4是否成立,令f(x)=x4代入(7-4),此时:因此近似式（7-4）的代数精度为m=3.由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。1.3插值型求积公式设给定一组节点ax0

7、为n次插值基函数。取f(x)Ln(x)，则有：记：则有：这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为插值型求积公式.根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：其中[a,b]与x有关.关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。具有n+1个节点的数值求积公式（7-1）是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。定理2定理2说明,当求积公式（7-1）选定求积节点xk后,确定求积系数Ak有