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1、实用标准文案4.2复化求积公式一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握积分的复合求积公式。二、教学内容及学时分配本节主要介绍复合求积公式。具体内容如下：牛顿柯特斯公式、复化求积公式。三、教学重点难点1．教学重点：复化求积公式。2.教学难点：复化考特斯求积公式。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。五、正文复合求积公式1公式的推导Newton-Cotes公式是由拉格朗日插值公式推导出来的数值积分公式。将区间[a,b]等分n等份,记,分点为,k=0,1,...,n,这n+1个节点上的函数值为,从而区间[a,b]上的拉格朗
2、日插值多项式为精彩文档实用标准文案由于插值结点是等距节点，故插值多项式可以进一步化简:因为，故，因，作积分变量代换，，当x=a时，t=0；当x=b时，t=n；故记，我们称为柯特斯（Cotes）系数，它不仅与函数f(x)无关，而且与积分区间[a,b]无关。例如：当n=1时(梯形积分公式中的系数),;当n=2时(抛物线积分公式中的系数),精彩文档实用标准文案,;当n=4时柯特斯公式于是，由柯特斯（Cotes）系数公式出发，我们得到n阶Newton—Cotes公式：。柯特斯公式市节点等距条件下的插值型求积公式，至少具有n次代数精度，当n为偶数时，能达到n+1次代数精度。
3、（可以证明）从表中看出n=8时，出现负数，稳定性没保证，所以一般采用n=4的牛顿-柯特斯求积公式。2低阶公式及其余项常用的Newton—Cotes公式a)梯形公式n=1时，积分节点为，，则数值积分公式为：其几何意义是曲边梯形的面积近似地用梯形面积来代替。其余项b)抛物线公式（辛浦生Simpson公式）n=2时，积分节点为x0=a，，x2=b；精彩文档实用标准文案柯特斯系数为；则数值积分公式为:其几何意义是曲边梯形的面积近似地用由抛物线形成的曲边梯形面积来代替。其余项c)柯特斯公式n=4时，积分节点为，，；柯特斯系数为,；则数值积分公式为：其余项综上所述，Newto
4、n-Cotes数值积分公式具有如下特点：(1)建立在等距积分节点上，(2)是封闭型的，即两个端点a,b也是积分节点，(3)是由拉格朗日插值公式推导而得到的。3Cotes系数的性质引理:Newton—Cotes公式的代数精确度至少是n。证明:如果是一个次数不超过n次的多项式，则其拉格朗日插值公式的插值余项为：精彩文档实用标准文案故，这是对一切x均相等，精确成立。所以，即，数值积分公式的值精确地等于定积分的值，故n阶Newton—Cotes公式的代数精确度至少是n。性质1:归一公式：证明：由于数值积分公式的代数精确度至少为n，故对于，数值积分公式是精确成立的：，而由上
5、述两式相等，得到：性质2:对称性：。定理Newton—Cotes公式中，n为奇数时，代数精度为n，n为偶数时，代数精度为n+1。(用求积公式余项来证明)4复化求积法随着n的增加可以减少积分误差，但高阶N-C公式又会造成数值不稳定。另外，通过求积公式的余项可以看出，截断误差与积分区间长度关系很大。通常将积分区间划分成若干小区间，每个小区间采用次数不高的求积公式，再将它们加起来，这类方法称为复化求积法。复化梯形公式精彩文档实用标准文案将区间等分n等份,,分点是(k=0,1,...,n),其中。在每个子区间上用梯形公式则此公式就是复化梯形公式。余项：梯形公式余项为复化梯
6、形公式由定积分定义故复化新甫生公式在每个小区间上用辛普生公式，记的中点为，得此公式就是复合辛浦生公式。余项：复化柯特斯公式精彩文档实用标准文案每个小区间四等分，记为，得此公式就是复化柯特斯公式。余项：算例分别利用梯形公式和Simpson公式计算积分：。解：设,步长h=1/8由复合梯形公式有：由复合Simpson公式有(步长h=1/4)：积分的相对精确值为。小结精彩文档实用标准文案这节课我们主要学习了在低阶考特斯求积公式基础上构造的复化求积公式与变步长算法，重点学习了复合梯形公式、复合辛普森公式及复合考特斯公式，这几个公式都要求大家掌握。1.复化梯形求积公式2.复化
7、辛普生公式3.变步长算法：梯形公式的逐次分半算法含义：把区间[a，b]分成n等份计算其n个小梯形面积；再把区间[a，b]分成2n等份计算其2n个小梯形面积。预备知识：则有：先计算，若，再计算，……直到为止，则就是答案。作业：课后习题5-8精彩文档
