2、294.86695.29084.68044.89245.10444.81394.89874.98354.85724.89964.9420取x0=a,x1=0.5(a+b),x2=b,则h=0.5(b–a)A0=(b-a)/6A1=2(b-a)/3A2=(b-a)/6Simpson公式例2.Simpson公式L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2定义:对不高于m次的多项式P(x),求积公式余项例.梯形公式代数精度为1具有m阶的代数精确度且有m+1次多项式不具有这样的性质,则称求积公式的代数精度(
3、n+1)点插值型求积公式代数精度至少为n阶.所以,R[xk]=0,(k=0,1,2,···,n)例3确定公式使代数精度尽可能高.类似有:Simpson公式具有3阶代数精度对于n次Lagrange插值基函数,有恒等式解:取f(x)=1,x,x2若求积公式准确成立,则有A1=0求积公式具有至少2阶代数精度容易验证,对f(x)=x3求积公式式不能准确成立.因此这一公式只具有2阶代数精度。取等距结点xj=a+jh时,插值型求积公式称为Newton-Cotes公式定理:当n为偶数时,n阶Newton-Cotes公式至少
4、有(n+1)阶代数精确度。Newton-Cotes公式代数精度至少为n复合梯形求积公式将积分区间[a,b]n等分.取h=(b-a)/n.xj=a+jh取递推，得给定允许误差界ε>0,当时，结束计算并以T2n作为定积分的近似值.T1T2T4········TnT2n格林公式的离散化——多边形面积计算令Q=x,P=–y得区域D的面积计算公式将分划,j:(xj，yj)(xj+1，yj+1)(j=1,2,···,n)t∈(0，1)参数方程:D格林公式中曲线积分处理面积公式顶点按逆时针排列,且(xn+
5、1，yn+1)=(x1，y1)蒙特卡罗法求积分N=2000:q=4.8975,4.9256,4.7550,4.9800·····在D中投入N个点,落入曲边梯形内的点数为n复合梯形公式误差估计外推计算龙贝格外推计算公式记则欧拉-麦克劳林公式有:T2(h)=I+O(h6)记记所以↓T0(0)↓T0(1)→T1(1)↓T0(2)→T1(2)→T2(2)↓T0(3)→T1(3)→T2(3)→T3(3)记龙贝格外推计算公式高斯型数值求积公式插值型求积公式代数精度为3,取f(x)=1,x,x2,x3(1)(2)(3)(4)
6、(4)-(2)×x02x12=x02(3)-(1)×x02x02=1/3代数精度为3的数值求积公式对于[a,b]区间上的定积分,构造变换t∈[-1,1]定义如果求积结点x0,x1,······,xn,使插值型求积公式的代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积公式.称这些求积结点为Gauss点.定理7.2如果多项式wn+1(x)=(x–x0)(x–x1)···(x–xn)与任意的不超过n次的多项式P(x)正交，即则,wn+1(x)的所有零点x0,x1,······,xn是Gauss点.例验证多项
7、式是[–1,1]上正交多项式.两点Gauss公式得Gauss点插值公式:三点Gauss数值求积公式Legendre多项式递推式例.两点Gauss公式计算解:变换x=0.5(t+1)取Simpsion三点公式0.94614588227359MATLAB命令0.94608307036718Gauss两点公式0.94604113689782数值微分显式法隐式方法Lagrange插值函数方法外推算法数值微分数值微分显式法一阶向前差商一阶向后差商二阶中心差商一阶中心差商f(x)xf(x)xf(x)xf(x)xtruede
8、rivativeforwardfinitedivideddifferenceapprox.backwardfinitedivideddifferenceapprox.centeredfinitedivideddifferenceapprox.30设xk=a+kh,(k=0,1,···,n)值令mk=f’(xk)(k=0,1,···,n)k=1,2,···,n-1隐式方法Lagrange
