极限应用的一个例子-连续函数

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1、§2.3极限应用的一个例子——连续函数连续函数的概念反函数和复合函数的连续性初等函数的连续性2.3.1连续函数的概念1.连续函数的两个定义设函数y=f(x)的定义域为X,如图所示x=xx0,称为自变量,在点x0的改变量或增量.y=f(x)f(x0)或y=f(x0+x)f(x0)称为函数的改变量或增量.设函数f(x)在点x0的邻域内有定义,当xx0时f(x)的极限存在,且等于该点处的函数值f(x0),即定义1则称函数f(x)在点x0处连续,x0称为函数f(x)的连续点.如果函数在某一区间的任意一点都连续,则称此函数是该区间

2、上的连续函数.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例1.证明函数在x=0处连续.[证]又f(0)=0,则由定义1知,函数f(x)在x=0处连续.,则称函数f(x)在点x0处连续设函数f(x)在点x0的邻域内有定义,当x=xx00时,y=f(x)f(x0)0,即定义2函数在一点处连续的本质特征:自变量变化很小时,函数值的变化也很小.例2.证明正弦函数y=sinx在区间(,+)内连续.[证]任取x(,+),y=sin(x+x)sinx由于

3、sin

4、≤

5、

6、，当x0时,y0则

7、y

8、<

9、x

10、.

11、,即sinx在点x处连续.由x的任意性,命题得证.2.函数的间断点由定义1,函数f(x)在点x0处连续应同时满足三个条件：(1)f(x)在点x0处有定义(2)存在(3)如果这三个条件至少有一个不满足,则称函数f(x)在点x0间断,x0称为函数的间断点.例如,函数在x=0处无定义所以x=0是该函数的间断点.例如,函数在x=0处极限不存在,所以x=0是该函数的间断点.另:第二个条件可以用“左、右极限存在且相等”来代替,用于讨论分段函数的连续性.例3.讨论函数在x=0处的连续性.解：左、右极限存在但不相等,故不存在,即该函数在x=0处间断.例

12、4.问a为何值时,f(x)在x=0连续.解:f(0)=3=3为使f(x)在x=0连续,必须f(0–0)=f(0)=f(0+0)即,a=3.故a=3时,f(x)在x=0连续.=a或f(x)在点x0处无定义,则称点x0为函数f(x)的可去间断点.间断点的类型1.跳跃间断点如果f(x)在点x0左、右极限都存在,但,则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点。如例32.可去间断点如果f(x)在点x0处的极限存在,但跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:函数在点x0处的左、右极限都存在.第一类间断点oyx跳跃型可去型oyx第二类间断点如果f(

13、x)在点x0处的左、右极限至少有一个不存在,则称点x0为函数f(x)的第二类间断点.oyx无穷型振荡型第二类间断点oyx例.确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.2.3.2连续函数求极限的法则设函数f(x)在点x0处连续,则连续函数求极限的法则：连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值（极限符号可以与函数符号互换）.例1.求解：可以证明，函数cosx在(-∞,+∞)内为连续函数.函数cosx在点x=处连续.则=cos=12.3.3初等函数的连续性1.连续函数的四则运算2.反函数和复合函数的连续性3

14、.初等函数的连续性(g(x0)0)在点x0处也连续.1.连续函数的四则运算若函数f(x),g(x)在点x0处连续,则f(x)g(x),f(x)g(x),例如，sinx,cosx在(,+)内连续,故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续.2.反函数和复合函数的连续性定理1单调连续函数的反函数仍是单调连续函数.例如,y=sinx在[/2,/2]上单调增加且连续,故y=arcsinx在[1,1]上也单调增加且连续.同理y=arccosx在[1,1]上单调减少且连续,y=arctanx,y=arccotx在

15、(,+)上单调且连续.定理2连续函数的复合函数仍是连续函数.例如,在(,0)∪(0,+)内连续,y=sinu在(,+)内连续,在(,0)∪(0,+)内连续.3.初等函数的连续性常数函数、三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.指数函数y=ax(a>0,a1)在(,+)内单调且连续.对数函数y=logax(a>0,a1)在(0,+)内单调且连续.幂函数y=x而y=au,u=logax在(0,+)内连续.讨论不同值,幂函数均在其定义域内连续.可知,所有基本初等函数在其有定义的区间内连续.进一

16、步,初等函数在其有定义的区间内连续.是初等函数,在点x0=1处有定义例.求解：原式=故在x0=1处连续由连续函数求极限的法则,有思考题设已知f(x)在x=0处连续,试确定a和b的值答案：(a=1,b=e)2