材料力学(土木类)第六章简单的超静定问题

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1、第6章简单的超静定问题§6.1超静定问题及其解法静定结构:仅靠静力平衡方程就可以求出结构的约束反力或内力FAB2AF1BaaC超静定结构(静不定结构):静力学平衡方程不能求解超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数BDCA132FaaFFCFBFABCAAFaaFFFN2N3N1yxBCAD习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的

2、平衡方程；然后根据几何、物理关系得出需要的补充方程；则可求解超静定问题。补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可得出需要的补充方程。补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。§6.2拉压超静定问题1拉压超静定问题解法例两端固定的等直杆AB，在C处承受轴向力F如图，杆的拉压刚度为EA，求杆的支反力.解：一次超静定问题FBAFABablFC(1)力：由节点A的平衡条件列出杆

3、轴线方向的平衡方程（2）变形：变形协调条件(求补充方程)可选取固定端B为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力FB，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构--称为原超静定结构的基本静定系或相当系统注意原超静定结构的B端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在B点的位移为零。即得变形协调条件BFFBCA在相当系统中求B点的位移,按叠加原理，可得（3）胡克定理(物理关系)（4）得出补充方程得FB为正,表明其方向与图中所设一致.xFBCADBFxFBBADBB例设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2=A

4、，E1=E2=E；3杆长度为l3，横截面面积为A3，弹性模量为E3,试求各杆的轴力。解：一次超静定问题(1)力：由节点A的平衡条件列出平衡方程BDCA132FAFaaFFFN2N3N1yx(2)变形：变形协调条件(求补充方程)(3)胡克定理aaDlDl31B1aa32DCAA'(4)得出补充方程联立平衡方程、补充方程，求解得在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆的刚度的比值有关增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。归纳起来，求解超静定问题的步骤是：(1)．根据

5、分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程；(2)．建立变形协调条件，求补充方程(3)．利用胡克定律，得到补充方程；(4).联立求解例一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用A、l、E表示。设AC为一刚性横梁，试求在荷载F作用下各杆的轴力解:(1)受力分析--平衡方程123laaa2BCADFFDABCFN1N2FN3F(2)变形分析—协调条件（求补充方程）(3)胡克定理(4)联立求解得ABB'CDDl1Dl2C'Dl3得出补充方程2装配应力·温度应力(1)装配应力在静定问题中，只会使结构的几何形状略有改变，不会在杆中产生附加的内力.如1杆较设计尺寸过长，仅是A点的

6、移动。在超静定问题中，由于有了多余约束，就将产生附加的内力.附加的内力称为装配内力,与之相应的应力则称为装配应力,装配应力是杆在荷载作用以前已经具有的应力，也称为初应力。3DBCAaA'A''1a2De例两铸件用两钢杆1、2连接如图，其间距为l=200mm。现需将制造得过长e=0.11mm的铜杆3装人铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d=10mm，铜杆横截面为20mm30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计。解：画出结构装配简图，并可确定装配后3杆受压，1、2杆受拉

7、BB1AA2CC'3CC111aaDel1=Dl12DlACBB'ACB12111C'A'Dl3(1)列出平衡方程,一次超静定问题变形分析—协调条件（求补充方程）因铸件可视作刚体，其变形相容条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构在几何和物性均对称于杆3，可得变形协调条件为(3)胡克定理FN1N3FFN2aaACBx得出补充方程(4)联立求解得所得结果均为正，说明原先假定杆1，2为拉力和杆3为压力是正确的。将已知数据代人，可得装配应力为计算中注意单位在超静定问题里，杆件尺寸的微小误差，