(3.6)换元法高等数学微积分

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1、一、二重积分的换元法3.6重积分的换元法这个公式称为二重积分的一般换元公式.其中记号表示曲线坐标下的面积微元.注:对极坐标变换因为所以一般地,如果区域能用某种曲线坐标表示,使得积分简单,就可以利用上述一般换元公式来化简积分的计算.例1解例2求椭球体的体积.解由对称性知,所求体积为其中积分区域令称其为广义极坐标变换,则区域的积分限为例2求椭球体的体积.解称其为广义极坐标变换,则区域的积分限为于是又特别地,当时,则得到球体的体积为例3计算其中由轴、轴所围成的闭区域.解令则区域且和直线例3计算其中由轴、轴所围成的闭区域.解令则和直线所以解二、小结基本要求:变换后定限简便，

2、求积容易．3.三重积分换元法类似可得(P185)．注:重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法注:重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号4.利用重积分换元公式例如:1.证明:提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.2.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:

3、积分区域线形心坐标3.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把与D分成作辅助线(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成4.如图所示交换下列二次积分的顺序:解:5.解:在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中6.证明证:左端=右端思考题用换元法求曲线所围平面图形的面积.思考题解答如果在直角坐标下计算,需要求曲线的交点,区域来计算面积,很麻烦,作变换则有并画出平面图形,还需将积分区域分割成几块小坐标变换.由于现在可巧妙地作曲线由于及由从而有于是练习题练习题答案