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《微积分 极坐标及换元法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线=常数,分划区域D为1即于是2二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图3区域特征如图4二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图5二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图注：若f≡1则可求得D的面积6思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)7解8例2.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.9注:利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义
2、积分公式事实上,当D为R2时,利用例2的结果,得①故①式成立.10解11解:原式12解：13例6：14例7.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知15二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）小结16将直角坐标系下累次积分:化为极坐标系下的累次积分.oxy解原式=练习：17解极坐标练习：18计算二重积分其中积分区域答案练习：19计算因被积函数D2极坐标例分析故的在积分域内变号.D120计算解积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.原式=记D1为D的y≥0的部分.则D1练习：21二重积分的计算规律再确定交换积分次1.
3、交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域D的不等式,并画D的草图;序后的积分限;2.如被积函数为圆环域时,或积分域为圆域、扇形域、则用极坐标计算;223.注意利用对称性质,数中的绝对值符号.以便简化计算;4.被积函数中含有绝对值符号时,应将积分域分割成几个子域,使被积函数在每个子域中保持同一符号,以消除被积函23例计算分析从被积函数看,用极坐标系要简单些,但从积分域D的形状看为宜.用却又以直角坐标系在两者不可兼得的情况下,应以D的形状来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系.2425而D表示全平面,则练习：26﹡三、二重积分的换元法设被积函数在区域D上连续,若变换满
4、足如下条件:(1)一对一地变为D上的点;(2)有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式27基本要求变换后定限简便,求积容易．注意：28例解所围成的闭区域.其中D为椭圆作广义极坐标变换29故换元公式仍成立,30例解令则即31故32证明证法一交换积分次序累次积分练习：换元33思路：由于等式左端是重积分等式右端为定积分，自然想到用重积分化为累次积分方法。34证明法二令则35故对称性36注意：做如下变换也可以37思考题设有一曲顶柱体,以双曲抛物面坐标面为底,试求这个柱体的体积.解由题设可知曲顶柱体在xOy平面上的投影,即积分域D(如图),由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积
5、简便.38以双曲抛物面故39思考题解40二重积分计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便：域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性41
