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1、F单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算 10.F1[2013·江苏卷]设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.10. [解析]如图所示,=-=-=(-)+=+,又=λ1+λ2,且与不共线,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.17.C5,C8,F1[2013·四川卷]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cosB-sin(A-B)
2、sin(A+C)=-.(1)求sinA的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.17.解:(1)由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.又0b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量在方向上的投影为
3、
4、cosB=.12.F
5、1[2013·四川卷]如图1-6,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=________.图1-612.2 [解析]根据向量运算法则,+==2,故λ=2.14.F1和F3[2013·重庆卷]在OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=________.14.4 [解析]因为=-=(1,k-1),且⊥,所以·=0,即-3×1+1×(k-1)=0,解得k=4.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 14.F2[201
6、3·北京卷]已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足=λ+μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为________.14.3 [解析]设P(x,y),∴=(x-1,y+1),=(2,1),=(1,2).∵=λ+μ,∴解得又1≤λ≤2,0≤μ≤1,∴此不等式组表示的可行域为平行四边形,如图所示,由于A(3,0),B(5,1),所以
7、AB
8、==,点B(5,1)到直线x-2y=0的距离d=,∴其面积S=×=3.8.F2[2013·湖南卷]已知a,b是单位向量,a·b
9、=0.若向量c满足
10、c-a-b
11、=1,则
12、c
13、的最大值为( )A.-1B.C.+1D.+28.C [解析]由题可知a·b=0,则a⊥b,又
14、a
15、=
16、b
17、=1,且
18、c-a-b
19、=1,不妨令c=(x,y),a=(1,0),b=(0,1),则(x-1)2+(y-1)2=1.又
20、c
21、=,故根据几何关系可知
22、c
23、max=+1=1+,选C.12.F2[2013·天津卷]在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为________.12. [解析]由题意得=-=+-=-
24、,=+,所以·=(+)·=2-2+·=1-2+
25、
26、×1×=1,解之得
27、
28、=或0(舍去).14.F2,F3[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知正方形ABCD的边长为2,E为CD中点,则·=________.14.2 [解析]如图建立平面直角坐标系,则=(1,2),=(-2,2),所以·=2.图1-621.F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷]如图1-5所示,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,
29、AA′
30、=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平
31、行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.21.解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.由e=得b2==8,从而a2==16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则
32、QM
33、2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8=(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意
34、,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因为x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,所以x1=2x0,且
35、QP
36、2=8-x.由对称性知P′(x1,-y1),故
37、PP′
38、=
39、2y1
40、,所以S=
41、2y1
42、
43、x1-x0
44、=×2
45、x0
46、==.当x0=±时,△PP′Q的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径
47、QP
48、==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)
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