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《24.1.2垂直于弦的直径 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、义务教育课程标准实验教科书九年级上册人民教育出版社24.1.2垂直于弦的直径1.通过折叠、作图等方法,探索圆是轴对称图形,且对称轴有无数条.2.知道垂径定理及其推论,体会利用圆的对称性证明垂径定理;会用垂径定理解决有关的证明和计算问题.3.重点:圆的对称性,垂径定理、推论及其应用.实践探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：1.按照教材“探究”的要求折纸,可以发现折线两侧的半圆重合,所有的折痕都交于一点,这点就是圆心.2.圆是轴对称图形,任意一条直径所在直线是圆的
2、对称轴.3要证明圆是轴对称图形，只要证明关于对称的点也在圆上.完成下面的证明过程. P81参考书活动一如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？?思考·OABCDE活动二（1）圆是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD重合．弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BD·OABCD
3、E我们还可以得到结论：由此，我们得到下面的定理：即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．（数学语言表示）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．．（数学语言表示）这个定理也叫垂径定理AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？赵州桥的半
4、径是多少？解得R≈27.9.ODABCR解决求赵州桥拱半径的问题：在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4m，CD=7.2m，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．（m）,.由例2可以看出,运用垂径定理,常要构造、的一半和圆心到弦的
5、距离三条线段组成的直角三角形,再利用定理等加以解决.公式R2=D2+(AB2)或R2=(R-D)2+(AB2)2半径弦勾股1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：答：⊙O的半径为5cm.活动三在Rt△AOE中，互动探究1如图,已知☉O的半径为5,点A到圆心O的距离为3,则过点A的所有弦中,最短的弦长为()A.4B.6C.8D.10【方法归纳交流】经过圆内一点的最短的弦是经过该点且垂直于经过该点的的弦.C直径互动探究2见教材“习题24.1”第9题(不能用三角形
6、全等证明).[变式训练]1.如图,连接OC,OD,将小圆隐去,得右图,设OC=OD,求证:AC=BD(不能用三角形全等证明).2.如图,连接OA、OB,将大圆隐去,设AO=BO,求证:AC=BD(不能利用三角形全等证明).证明:过点O作OE⊥AB于E,则AE=BE.∵OC=OD,∴CE=DE,∴AE-CE=BE-DE,∴AC=BD.证明:过点O作OE⊥AB于点E,则AE=BE,又∵OC=OD,∴CE=DE,∴AE-CE=BE-DE,∴AC=BD.证明:过点O作OE⊥AB于点E,则CE=DE,又∵OA=OB,∴AE=BE,∴
7、AE-CE=BE-DE,∴AC=BD.互动探究32.如果是要求作弧AB的圆心呢？互动探究4某市某居民区一处圆柱形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道?解:如图,连接OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于F,则AE=30cm.令☉O的半径为R,则OE=R-10.在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.解得R=50cm,∴修理人员应准备内径为100cm的管道.2．如图，在⊙O中，AB、AC为互
8、相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．·OABCDE证明：∴四边形ADOE为矩形，又 ∵AC=AB，∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.
