1.2.2离散型随机变量的方差

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1、1.2.2离散型随机变量的方差yyyy年M月d日星期定义：若离散型随机变量的概率分布为x1x2···xn···Pp1p2···pn···则称E=x1p1+x2p2+···+xnpn+···为随机变量的数学期望（或平均数、均值），数学期望又简称为期望.复习回顾公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np、服从几何分布的随机变量的期望Eξ=.一组数据的方差：在初中代数中曾经介绍过一组数据的方差，方差说明了这组数据的波动情况.离散型随机变量的方差：定义：如果离散型随机变量所有可能取的值是x1，x2，···，xn，···，且取这些值的概率分别是

2、p1，p2，···，pn，···，那么，把D=(x1-E)2·p1+(x2-E)2·p2+···+(xn-E)2·pn+···叫做随机变量的均方差，简称方差.式中E是随机变量的期望.新课教学注:⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是类似的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛方差的性质：（1）D(a+b)=a2D.(3)如果~B(n，p)，那么D=npq,这里q=1-p..（2）Dξ=Eξ2-(Eξ)2例1已知离

3、散型随机变量1的概率分布为11234567P23.73.83.944.14.24.3P随机变量2的概率分布为求这两个随机变量的期望、方差与标准差.例题解析解：点评：本题中的ξ1和ξ2都以相等的概率取各个不同的值，但ξ1的取值较为分散，ξ2的取值较为中．Eξ1=Eξ2=4,Dξ1=4,Dξ2=0.04，方差比较清楚地指出了ξ2比ξ1取值更集中．σξ1=2,σξ2=0.2,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例2甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：击中环数18910概率P0.20.60.2射手甲射手乙击中环数28910概率P0.40.20.4用击中

4、环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平.解：同理有由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，ξ1和ξ2所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．Eξ1=Eξ2=9,这时就通过Dξ1=0.4和Dξ2=0.8来比较ξ1和ξ2的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例3．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A机床B机床次品数ξ10123次品数ξ10123概率P0.70.20.060.04概率P0.80

5、.060.040.10问哪一台机床加工质量较好解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.∴Dξ1

6、1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ～B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算练习解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ～B（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200,p=1%,q=99%，所以，Eξ=

7、200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.982.设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4分析：这是一道纯数学问题．要求熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p则Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p