中学数学研究-陕071157基于HPM的探究式数学教学设计——从祖原理与球体积谈起

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1、资料编号14760立体几何祖原理袁与玲发表在陕071157上属于教法、类型、史话题为《基于HPM的探究式数学教学设计——从祖原理与球体积谈起》数学史的教育价值很早就被数学史家、数学教育工作者所认同，成立于1972年的国际HPM研究小组标志着数学史与数学教育的关系已经成为数学教育的研究课题之一.我国也成功地开展了两次“数学史与数学教育”的学术会议.可是由于目前我国中学数学教师数学史知识比较匮乏，如何把数学史融人数学教学的研究案例偏少，再由于升学的压力、课时的限制等，数学史融人中学数学课堂教学的现状目前并不乐观，平时教学中教师较少融人数学史.如何把数学史知识恰当地融人数学教

2、学？又如何在此过程中培养学生的探索、创新能力呢？下面就从祖睢原理与球体积的教学设计谈起.1教材中祖9®原理与球体积的安排为了培养学生的探究能力和创新能力，高中数学新教材安排了“探究与发现祖唯原理与柱体、锥体、球体的体积”[4]这样一个研究性专题.在这个专题中教材首先简单介绍了祖W的生平，便直接给出祖唯原理，然后由祖暱原理和长方体体积推导出棱柱、圆柱以及棱锥、圆锥的体积，最后取一个底面半径和高均为i?的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上，然后证明这两个几何体合乎祖暱原理的要求，断定他们的体积相等，从而求

3、出半球的体积.教材中关于祖唯原理和球体积的安排无疑可以培养学生的探究能力，可很难让学生体验、感悟到我国古代数学家刘徽和祖晡推求球体积公式时创造性的思维火花和火热的思考过程，不能让学生体味祖唯原理所蕴涵的丰富的文化内涵.鉴于此我们从数学史的视角对球体积进行教学设计.2关于球体积教学的设计案例2.1提出问题激起学生的认知冲突教师:既然柱体和锥体的体积公式都是根据祖唯原理推导出来的，那么祖暱原理是从哪儿来的呢？祖啦是怎么提出祖暱原理的呢？“一石激起千层浪”，学生积极思考、讨论，处于渴望求知的状态.2.2刘徽构造“牟合方盖”质疑“权威”教师：（介绍刘徽的数学成就及其质疑《九章算

4、术》中球体积公式的故事）祖唯原理是怎么产生的呢？这要追溯到我国古代著名数学家刘徽.（用多媒体呈现刘徽画像)刘徽是公元3世纪魏晋时期的一位知识渊博的饱学之士，他精通四书五经和诸子，并掌握了前人所有的数学成果，数学成就非常突出，于公元263年撰写了《九章算术注》.《九章算术》约成书于公元50年到100年之间，是我国传统数学的重要源头，东汉时已被官方奉为经典.但刘徽并不迷信它，他在注释中如实指出了《九章算术》的若干不精确和错误之处.如《九章算术》在其“少广”章“开立圆”术中说“置积尺数，以十六乘之，九而一，开立方除之，即丸(球)径”，[5]实际上将球体积公式定为V=D3(D为

5、球直径).刘徽在为《九章算术》作注时分析了这个公式，认为这个公式是不正确的.为了推求正确的球体积公式他创立了一个新的几何体:“取立方八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸.规之为圆囷，径二寸，高二寸.又复横规之，则其形有似牟合方盖矣.即取棱长一寸的正方体模型八枚，拼成棱长二寸的正方体.然后由纵、横两个方向各作内切圆柱，两圆柱体公共部分外表像上下对称的正方形的伞，刘徽称之为“牟合方盖”，如图1.古代称伞己的结论刘徽构造“牟合方盖”，“规之为圆囷，又复横规之”，从而为推求球体积公式开辟了一条正确的途径.学生体会刘徽的构造思想和批判精神.3从HPM的视野看上述教学设计3.1基于H

6、PM的数学教学设计是顺应新的教学理念的有效途径高中数学新课程标准要求“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物”.[9]上述教学设计以历史上刘徽和祖睢对球体积公式的推求为主线，通过让学生经历刘徽和祖唯创作数学知识、解决数学问题的思想历程以及教师关于刘徽和祖唯的事迹及数学成就的介绍，不仅可以让学生体验我国古代伟大的数学家刘徽和祖睢的创新、探索精神和巧妙的构思，而且可以让学生感受他们怀疑与批判的数学理性精神、丰富的数学思想、辉煌的数学成就以及严谨的治学态度.从而可以增强学生的民族自豪感，可以对学生进行良好的人文教育.3.2

7、基于HPM的数学教学设计有助于培养学生的探索、创新能力数学史对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的学习气氛、培养学生的探索精神具有重要意义.上述设计中刘徽为了推求球体积公式构造了一个全新的几何体——牟合方盖，而且教师帮助学生分析了刘徽构造“牟合方盖”的创造动机和深刻思想.另外案例要求学生制作“牟合方盖”探究“牟合方盖”与立方体内切球的位置关系和截面之间的关系以及要求学生在探究八分之一“牟合方盖差”在高A处的截面面积及其特点的基础上发现:八分之一“牟合方盖差”与倒立正方锥在等高A处的截面面积总是成对相等.这样不仅可以让学生