中学数学研究-陕070761从最小二乘法看方差的定义

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1、资料编号14727概率与统计方差徐章韬发表在陕070761上属于教法、类型、史话题为《从最小二乘法看方差的定义》1引言作为一门独立的、正式的学科，统计学历史发展是复杂的，出现得相对迟些（17世纪〜18世纪).统计学的发展经由了以下两条道路：（1)搜集、整理、描述、显示和分析与社会物理问题相关的各种数据的需要；(2)研究机会问题，试图理解“随机”的含义，结果萌发了基本的概率观念.方差的定义是从（2)的角度定义的，反映的是随机变量$相对于其均值£$的偏离程度，为了避免正负偏差相互抵消（事实上£($_£$)=Ee—E6=0)，这种偏差用平方项（e_E6)2

2、来描述.但(e—£$)2也是一个随机变量，因此取其数学期望，反映“平均说来”这种偏差程度的大小.“平均说来”是一种“统计观点这里至少有两个疑问：为什么是与均值£$的差，而不是与其他值的差？虽然为了避免正负偏差相互抵消，的确可以用平方项来描述，但能不能用le_sel来描述呢？萧树铁在一份高等数学教学改革报告中要求:“讲推理，更要讲道理历史是一份资源宝库，能提供许多与学科有关的问题供人们思考.用历史素材作比较，其理几乎不辨自明.阿贝尔说..“一个人如果想要在数学上有所进步，就必须向大师学习比较历史上大师们对最小二乘法的思考，可以揭示方差定义的科学性、合理

3、性、最优性.2最小二乘法和最小一乘法随机观念的确立是不易的，统计学出现的晚些说明了这一点.从(1)出发，用数据处理的观点能更好地把捱方差的实质，统计学是“数据处理的科学”，这就涉及历史上有名的最小二乘法.天文和测地学中的一些数据分析问题可以描述如下:有若干个要估计其值的量氏，…，氏，另有若干个可以测量的量心，…，&.按理论，这些量之间有线性是线性函数，在正态总体下有完善的小样本理论，而中位数难以用于推断处理.算术平均又是一个历经千百年考验的方法，符合人的一般心理.因此以Ex作平衡位置是合理的，Ex还有鲜明的物理背景，可视为一组质点的重心(平衡位置）；

4、而中位数就没有这个直观背景.但在异常值（出现系统误差）的情况下，平均易受异常值的影响，中位数的稳定性较好.另外，绝对值函数不是初等函数，微积分的方法又用不上，运算起来不方便，二次函数就没有这些缺点.挖掘这些历史素材，我们就能明白方差比平均绝对偏差更适合表征离开一个给定中心的平均距离.任何事物都有两面性.单从上面的叙述看，最小一乘法几乎是一无是处.可是大数学家拉普拉斯为什么要考虑它呢？这迫使我们作深人的思考.注意到最小二乘法只是一种算法，尽管它看上去合理，但还是不足以回答它在缩小误差这个根本点上，究竟有何出众之处.髙斯在研究测量的误差理论时，却不管这些

5、，首先承认算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布;反过来，由正态分布又推出算术平均及最小二乘估计的优良性.故必须认定这二者之一为出发点.这有点循环论证的味道.拉普拉斯得知髙斯的工作后，用最小一乘法对算术平均数的优良性作了论证，并指出若误差可看成许多量的叠加，则根据他的中心极限定理，则误差的理论分布应是高斯分布.拉普拉斯打破了“以二乘准则证二乘准则”的循环，使这些理论成为一个和谐的整体.最小一乘法早于最小二乘法.由于当时无法解决计算问题，最小一乘法在此后百余年未受到应用和重视，直到1950年发现了由线性规划求解的方法以及电子计算机的出现，计算的困难

6、不复存在.再由于大样本理论的出现，最小一乘法显示出优良性质，逐渐得到应用界的重视.而在此期间，最小二乘法得到了长足的发展，远远走在了最小一乘法的前面.3教学启示情境认知理论认为，学生是在参与和实践的过程中掌握知识的，而不是记忆孤立的事实.但创设情境的目的是为了提供问题生长的合适土壤.与情境相比，问题才是关键.作为供学校教学的数学有时不必过分关注历史问题的背景，只要关注问题，关注问题产生的概念.历史发生原理认为个体对数学概念的认知过程与该概念的历史发展过程相似.学生的头脑并不是白纸一张，可以从学生的头脑中找概念.根据概念的历史发展过程，充分利用学生头脑

7、中已有的观念、知识，引发认知冲突，让各种观点充分碰撞，产生较为合理、自然的想法，从而阐释概念的科学性、合理性、最优性.这一过程依据历史而不拘泥于历史细节，以最大似真度引导学生学习数学家的思维.这样设计教学就不会把概率变成计数问题，把统计变成计算样本平均数、样本方差等纯粹的代数据套公式的问题.学习的最重要形式是使学生能够以不同的方式看待某个学习对象.数学史在教学中的作用不仅仅是激趣，更重要的是挖掘各家学说的合理成分并作为源问题，引领学生的思维朝更自然、更合理的方向发展，让学生学会鉴别、选择.在教学中要鼓励学生坚持自己观点合理的一面，同时勇于挑战别人的观

8、点.各种观点、方法在比较中见优劣.历史上的情形也如此.这样“合作学习”、“知识是社会建构的”这些教育口号才能