专题训练(四)　特殊平行四边形的性质与判定的综合应用

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1、专题训练(四)特殊平行四边形的性质与判定的综合应用解：(1)证明：如图．∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴∠1＝∠A＝60°，∠2＝∠3＝60°，DE＝DC，∴∠1＝∠3，∴DE∥CF.又∵EF∥AB，∴∠4＝∠A＝60°，∴∠4＝∠2，∴EF∥CD.∴四边形EFCD是平行四边形．∵DE＝DC，∴四边形EFCD是菱形解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵三角形ADE为正三角形，∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∴∠BAE＝∠CDE＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE，∴BE＝

2、CE(2)∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，又∵∠BAE＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝15°，同理：∠CED＝15°，∴∠BEC＝60°－15°×2＝30°.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PC，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CP

3、F＝∠EDF＝90°(3)易知△ABP≌△CBP(SAS)，PA＝PC，∴∠BAP＝∠BCP，∵PA＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PC，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE.解：(1)当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形，∴∠DAE＝360°－120°－150°＝90°，∵四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE是矩形(有

4、一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)当∠BAC＝60°时，平行四边形ADFE不存在，∠DAE＝360°－60°－60°－60°＝180°(3)当AB＝AC且∠BAC不等于60°时，平行四边形ADFE是菱形．综上可知：当AB＝AC，∠BAC＝150°时，平行四边形ADFE是正方形