1.1.2 瞬时变化率——导数（1）

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1、高中数学选修２-２1.1.2瞬时变化率——导数（１）放大放大问题情境问题一　如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？问题二观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？问题三　这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了什么图形呢？探究结论从上面的图形变化过程来看：1）曲线在点P附近看上去几乎成了直线．2）继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．3）点P附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内以直代曲）．深入探究：l1Ol2P如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线．问题一：试判断哪一条直线在点P附近

2、更加逼近曲线；问题二：在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？问题三：在点P附近还能作出比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线吗？PQoxy割线切线l建构数学y＝f(x)如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线.P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线.点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的yOxPQ试求f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率．y·OP24Qx数学运用：分析：设P(2，4)，Q(xQ，f

3、(xQ))则割线PQ的斜率为当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4．从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的切线斜率为4．练习：试求f(x)＝x2＋1在x＝1处的切线斜率．解：设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)，则割线PQ的斜率为：当xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的切线斜率为4．解：设P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)，则割线PQ的斜率为：当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)＝x2在点(2，4

4、)处的切线斜率为4．练习：试求f(x)＝x2＋1在x=1处的切线斜率．当△x无限趋近于0时，割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率．找到定点P的坐标设出动点Q的坐标求出割线斜率解：由题意，设P(1，2)，Q(1＋Δx，(1＋Δx)2＋1)，则割线PQ斜率为当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数2，从而曲线f(x)＝x2＋1在点x＝1处的切线斜率为2．yxOy=f(x)xx0X0＋xPQf(x0+x)f(x0)切线割线P（x0,f(x0))Q(x0+△x,f(x0+△x))△x>0时,点Q位于点P的右侧y=f(x)△x<0时,点Q位于点P的左侧2.求出割线PQ的斜率，并化简.求曲线y=f

5、(x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤：3.令Δx趋向于0，若上式中的割线斜率“逼近”一个常数，则其即为所求切线斜率．1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0+Δx))M（即y)变式训练：课堂练习：练习：1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映(局部以直代曲)．2．根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．割线PQP点处的切线Q无限逼近P时割线PQ的斜率P点处的切线斜率Q无限逼近P时Q无限逼近P时即区间长度趋向于0令横坐标无限接近函数在区间[xP，xQ](或[xQ，xP]）上

6、的平均变化率P点处的瞬时变化率(导数)小结：