24.1.3 圆心角_弧_弦_弦心

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1、圆心角、弧、弦、弦心距的关系·圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA一、概念1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与A′重合，B与B′重合．·OAB探究·OABA′B′A′B′二、如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？∴重合，AB与A′B′重合．AB与A’B’∴A

2、B=A’B’在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所对的弧_________．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．三、圆心角与弧、弦的关系定理如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果，那么____________，______

3、_______．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFOAB=CDAB=CD练习ABCD=ABCD=ABCD=OAB下面的说法正确吗?为什么?如图,因为根据圆心角、弧、弦的关系定理可知：⌒⌒讨论一下！1.下列命题中真命题是（）A。相等的弦所对的圆心角相等。B、圆心角相等，所对的弧相等。C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。D、长度相等的弧所对的圆心角相等。2、在⊙O中，=，∠B

4、=70°，则∠A=＿＿ABAＣＡＢＣＯ３、如图：AB为⊙O的直径，==，∠COD=35°，则∠AOE=＿＿＿度。BCCDDEABCDEo练习14.如图：已知OA.OB是⊙O中的两条半径，且OA⊥OB,D是弧AB上的一点，AD的延长线交OB延长线于C。已知∠C=250，求圆心角∠DOB的度数，ＣＯＤＢＡ证明：∴AB=AC．又∠ACB=60°，∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO四、例题选讲例1如图,在⊙O中，，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.ABAC=∵AB=AC．∴△AB

5、C是等边三角形.练习1如图，已知AB、CD为的两条弦，，求证AB＝CD.O⊙AD=BC已知：AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的中点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。求证：AC=BDＡＤＣＮＭＢ练习2·O例2：已知如图（1）⊙O中，AB、CD为⊙O的弦，∠1=∠2，求证：AB=CD变式练习1：如图（1），已知弦AB=CD，求证：∠1=∠212ABCDO（1）变式练习2：如图（2），⊙O中，弦AB=CD，求证：BD=ACABCDO变式练习3：如图（2），⊙O中，弦BD=AC，猜测∠A与∠D的数量关系。（

6、２）例3：已知：如图（1），已知点O在∠BPD的角平分线PM上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，求证：AB=CDOPACDMB（1）变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与A、B、C、D，AB=CD求证：点O在∠BPD的平分线上OPACDB（2）变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB，求证：PA=PBPABO(3)变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中还存在相等的弦吗？APCBDO（４）1°弧n°1°n°弧∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1º.同时整个圆也被分成了3

7、60份.则每一份这样的弧叫做1º的弧.这样,1º的圆心角对着1º的弧,1º的弧对着1º的圆心角.nº的圆心角对着nº的弧,nº的弧对着nº的圆心角.性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.小结1.在半径相等的⊙O和⊙O中,AB和AB所对的圆心角都是60°.(1)AB和AB各是多少度?(2)AB和AB相等吗?(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么每一份弧是多少度?3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相

8、等.⌒⌒⌒´´´´⌒´´´⌒⌒结束试一试如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为4cm，求AB的长OABCOABCD如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径.求证：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.⌒⌒⌒⌒∴AB=BC=CD=DA⌒⌒⌒⌒证明:∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠D